EL MATERIAL PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

 

Manolo Alcald *

 

Uno de los puntos más con­flictivos relativos a la enseñanza de las matemáticas es el referido a los mate­riales; y tanto que en ocasiones suscita reacciones emocionales y posturas ra­dicalmente encontradas. Me refiero al nivel concreto del aula, porque a nivel teórico hay gran acuerdo hoy en que el uso de materiales es necesario. Pero, ¿qué materiales?, ¿cuándo y cómo usarlos?.

 

Clasificación inicial.

 

Para precisar el significado de algunos términos que serán utilizados en los párrafos siguientes conviene partir de la clasificación tradicional. Desde hace tiempo los materiales para la enseñanza de las matemáticas se suelen agrupar bajo los rótulos de ma­teriales impresos y materiales mani­pulables.

 

Por material impreso se entiende todo aquel que va escrito, dibujado o codificado en soporte de papel, audio­visual o informático. Forman este gru­po los libros de texto, fichas, cuader­nillos de ejercicios y problemas y otros de creación moderna como cassettes, programas y juegos de ordenador, ví­deos, etc.

 

Por material manipulable enten­deremos todo aquel que permite su manipulación física y concreta. Este, a su vez, suele ser clasificado en estruc­turado y no estructurado. Estructura­do es todo material que ha sido conce­bido para la enseñanza de algún siste­ma conceptual organizado y se adapta a su estructura, los "bloques multiba­se" (sistemas de numeración) y los "bloques lógicos" (operaciones lógi­cas elementales), ambos de Dienes, son dos ejemplos muy conocidos. Las regletas de Cuisenaire y de Montessori también lo son.

 

Material no estructurado es el material manipulable elaborado para la enseñanza de algún aspecto parcial, unos conceptos específicos o el desa­rrollo de ciertas habilidades. Los jue­gos de barajas, los dominós y la in­mensa mayoría del material geométri­co comercializado. Dentro del mate­rial no estructurado se sitúa el material ambiental, por el que sienten prefe­rencia muchos maestros: semillas, cromos, monedas, envases,...; es decir, todo material que está fácilmente al alcance de los niños y que es suscepti­ble de matematización. La baraja es­pañola es, sin duda, uno de los mejo­res.

 

Desde la psicopedagogía se tien­de a utilizar los términos continuo y discontinuo. De acuerdo con la con­ceptualización de magnitudes conti­nuas es material continuo aquel que siempre puede ser subdividido en par­tes más pequeñas: el agua y el papel, por ejemplo. El material discontinuo sé halla configurado en elementos sueltos, enumerables; por ejemplo: garbanzos, botones, fichas de colores.

 

Hechas esas precisiones veamos ahora cómo está el panorama actual del uso de materiales en la escuela, efectuando antes una breve introduc­ción histórica.

 

¿De dónde vienen los materiales?.

 

El material no impreso específi­camente creado para la enseñanza de contenidos matemáticos elementales tiene sus comienzos a principios del siglo XIX. Como iniciadores están Ti­llich, Froebel, y educadores de niños con problemas como ltard y Séguin. Prosiguiendo esta línea encontramos en las puertas del s. XX importantes creaciones. Un buen ejemplo es Mon­tessori(1).

 

Esta tendencia prosigue a lo lar­go del XX siendo las décadas del cin­cuenta y sesenta las más prolíficas. Los materiales más conocidos en la actualidad y de calidad constatada pro­ceden de estos años: Cuisenaire, bie­nes, Castelnuovo, Gáttegno,... Mucho de lo que se comercializa ahora es derivación de lo creado por estos pio­neros.

 

Pero paralelamente a esta co­rriente encontramos educadores que, desde Pestalozzi, usan material am­biental para la enseñanza del número y las operaciones aritméticas. Son, pues, dos corrientes, dos enfoques, que aun perviven y sustentas posiciones interesantemente argumentadas. Vea­mos un esbozo de ellas tomando como referencia a los materiales de Dienes, por ser los más difundidos.

 

En los años sesenta (en España en los setenta) va extendiéndose el es­tructuralismo en la enseñanza de las matemáticas. Se cree que lo esencial es que el aprendiz capte la estructura matemática que subyace a los concep­tos. Y la capte por medio de su interac­ción con materiales que sirvan de mo­delo y, a la vez, le permitan el descu­brimiento de relaciones y conceptos.

 

Esta posición estaba avalada por psicólogos como Piaget y Bruner.

 

Con el tiempo, la enseñanza orientada a las estructuras matemáti­cas y los materiales del tipo de las materializaciones de Dienes fueron perdiendo adeptos. Se carece de inves­tigaciones que validen la enseñanza de las matemáticas desde ésta óptica y que confirmen la mayor eficacia de estos materiales frente a otros no es­tructurados.(2)

 

Sin embargo, en honor de los autores citados, hay que significar sus muchas aportaciones a la enseñanza, de las que todos somos deudores.

 

Como puede apreciarse, el uso de unos y otros materiales va asociado a la concepción de las matemáticas y a las creencias acerca del aprendizaje que tengamos. Y, claro está, a cómo se organice el trabajo en el aula, estos es, a la metodología. Los partidarios del uso preferente de material estructura­do son proclives, en general, a ver el aula como "aula-laboratorio": en ella se enseñan unos conceptos y técnicas para que, después, y gracias a la gene­ralización, los niños las apliquen a la solución de problemas y situaciones ambientales concretas.

 

Por contra, los partidarios del material ambiental no establecen esa distinción pues basan su enseñanza en situaciones reales, haciendo uso de materiales no "modélicos", y recu­rriendo al estructurado cuando lo con­sideran necesario.

 

Materiales Impresos programados.

 

Existe una corriente, iniciada de la mano del asociacionismo en psico­logía de la educación, que ha aportado mucho material: fichas con secuencias de aprendizaje, ejercicios programa­dos autocorrectivos, programas de or­denador,...

 

Esos materiales están basados en la concepción de las matemáticas co­mo conjunto de datos, de técnicas y de modelos de resolución de problemas específicos. Se considera al aprendiz como receptor de estímulos, que retie­ne mediante asociaciones, y produce una respuesta. El tipo de enseñanza (suelen sentir predilección por la pala­bra "instrucción") es individualizado. El estudiante se enfrenta a una serie de tareas analíticamente pormenorizadas siguiendo un orden que va de lo simple a lo complejo.

 

El aluvión de materiales elabora­dos desde esta perspectiva y comercia­lizados no se extendieron demasiado en España, aunque en los setenta sí se notó su influencia. En la actualidad esta concepción en la elaboración de materiales se manifiesta, no obstante al hallarse en declive, en casi todo lo que hay ahora a nivel de ordenador.

 

Quien dio un impulso funda­mentado a esta corriente fue Thorndi­ke en los años veinte en U.S.A., quien, incluso, escribió un libro sobre ense­ñanza de la aritmética. Pero fue media­do el siglo cuando la elaboración y difusión de materiales "programados" tuvo su apogeo, gracias, sobre todo, a Skinner y la enseñanza programada.

 

No existen evaluaciones fiables que avalen la bondad de los materiales programados ni indiquen su supe­rioridad con respecto a otros. Por con­tra, las críticas a su uso son numerosas y fundamentadas. A todo maestro que utilice o haya utilizado materiales de este tipo le surgen interrogantes de difícil respuesta, o de respuesta com­pleja, tales como:

 

¿Es más importante la adquisi­ción de técnicas algorítmicas que la comprensión de conceptos y relacio­nes?

 

¿Aprender matemáticas es me­morizar respuestas?

 

¿Ha de enfocarse la enseñanza de las matemáticas simplemente como cálculo (con sus técnicas y mecanis­mos) o como comprensión conceptual y resolución de problemas?.

 

¿Enseñar es adiestrar?;¿Apren­der es retener?.

 

¿Son necesarios la investigación y el descubrimiento en el aprendiza­je matemático o han de enseñarse ex­plícita, directa y unívocamente los conceptos y los modelos de resolución de problemas?.

 

¿Qué papel juega el aprendiz de la enseñanza, el de receptor pasivo (o activo) o el de agente constructivo?.

 

¿Es preferible presentar concep­tos y relaciones mediante una frag­mentación atomizada de sus compo­nentes a presentarlos en una situación global y recabar del que aprende el esfuerzo de descubrir (o construir) esos componentes?.

 

¿Con qué criterios se evalúa el aprendizaje realizado mediante mate­riales programados?. ¿Sólo mediante la tasa de respuesta?

 

Y, sobre todo, ¿es posible la en­señanza de las matemáticas siguiendo una secuencia estándar de aprendiza­je?

 

Filtrados los materiales y las ex­periencias le enseñanza programada o similar por el tamiz que conforman esos interrogantes, no quedan en muy buen lugar. Los materiales impresos programados fueron perdiendo acogi­da. En la década del sesenta en U.S.A. y consciente de las críticas al neocon­ductismo, Gagné, retomando esta co­rriente y de la mano de las teorías del procesamiento de información formu­la sus jerarquía de aprendizaje y su teoría del aprendizaje acumulativo. Este no es el lugar para extendernos sobre ello, pero sí decir que Gagné y sus posiciones son las que fundamen­tan y tienen predicamento hoy día en­tre aquellos que aun siguen elaborando o usando materiales de este tipo.

 

¿Es necesario el material manipula­ble?.

 

A la luz de lo que hoy sabemos parece trivial esa pregunta. No lo es. Téngase presente que en la inmensa mayoría de las aulas de Primaria, y más aun de Secundaria, sólo se usa pizarra y tiza, texto y cuaderno de ejer­cicios. La metodología de las leccio­nes (explicación del "profesor"- ejer­cicios) es absolutamente dominante, a pesar de la enorme y variada cantidad de material existente y de lo que pro­pugnan las ciencias de la educación.

 

A quienes ostentan esa rutinaria tradición se opone una minoría, algo así como un tercio del profesorado, que practica y sostiene que sí, que la orientación, explicación y sugerencias del maestro son necesarias, como tam­bién lo es la ejercitación. Pero que el verdadero aprendizaje se produce me­diante la participación activa del que aprende en la solución de situaciones; que los materiales manipulables son recursos positivos, unos mejores que otros, para la enseñanza. Que "se aprende haciendo" y para ese "hacer" se necesitan objetos. Que un rato ju­gando con un buen material de cálculo (baraja, juegos de dados, etc.) es más educativo y eficaz que la ejecución de páginas de ejercicios insulsos. Que el aprendizaje matemático no es reducti­ble a la recepción en silencio de unos conceptos y una jerga extraña. Que los recursos son a la enseñanza de las ma­temáticas como los materiales de labo­ratorio son a la de ciencias físico-natu­rales. Que....

 

¿qué materiales usar?.

 

Ahora bien, como en todo, ese escaso tercio de enseñantes, digamos activos, sostienen diferencias entre sí no sólo en "qué materiales" sino tam­bién en "cómo" y "cuándo" utilizarlos. Y ello no es una mera cuestión meto­dológica sino didáctica, es decir, refe­rida también a aspectos epistemológi­cos (qué es la matemática), a aspectos psicológicos (cómo se aprende) y an­tropológicos.

 

Los componentes de este grupo pueden ser clasificados en tres bandos: los lógico-conjuntistas, los aritmetis­tas y los eclécticos.

 

A) Los lógico-conjuntistas sue­len ser enseñantes que resaltan la im­portancia de la comprensión concep­tual y priorizan el razonamiento lógi­co. Las matemáticas, creen, ayuda a formar un pensamiento ordenado. He­rederos de posiciones piagetianas y conjuntistas sienten debilidad por el material estructurado.

 

Estos maestros suelen dedicarle tiempo, sobre todo en Preescolar y C. Inicial, a los aspectos lógicos. Los materiales tipo Bloques Lógicos de Dienes son de su preferencia. Cuando pasan al campo aritmético, el material al que suelen recurrir es el del tipo Bloques Aritméticos Multibase en sus diferentes versiones.

 

Dicho sea de paso, el uso indis­criminado de ese material encierra dos peligros. Uno es el de la cosificación. Su uso exclusivo conduce a los niños a creer que las decenas son "las barri­tas" y que las centenas son "las pla­cas". Es decir, que los conceptos ma­temáticos están contenidos en, hacen referencia al material, cuando cierta­mente es al revés. Y así, esos niños no aplican los conceptos de decena o cen­tena en situaciones normales sino so­lamente cuando operan con el mate­rial.

 

El otro peligro es que, frecuente­mente, la manipulación excesiva impi­de la abstracción en lugar de favore­cerla. El cómo y hasta cuando debe usar cada niño un material de ese tipo se aprende con la experiencia.

 

Desde la posición lógico-con­juntista se piensa que las acciones es­tán en la base del aprendizaje de las operaciones y que éstas proceden de la coordinación interna de las acciones. Existe todo un proceso de abstracción progresiva que va desde las acciones iniciales hasta el dominio de las ope­raciones. El material manipulable y el lenguaje (gráfico o verbal) son los me­diadores necesarios. Tanto uno como otro deben ajustarse a la estructura de aquello que se está estudiando.

 

En este sentido, cuando en el mercado no se halla un material apro­piado se improvisa. Por ejemplo, cuando con niños de 5º o 6º se está trabajando el núcleo formado por "de­cimales, sistema métrico, operaciones con comas" un buen material lo cons­tituyen las cuartillas de papel. Estas son los "enteros" o "unidades". De esas unidades se obtienen las "déci­mas", las "centésimas", ...Ese material "estructurado" fabricado poco a poco por toda la clase es un buen recurso para la construcción del sistema numé­rico y las operaciones y algoritmos con comas.

 

B) Por su parte, los aritmetistas desconfían de las fundamentaciones psicológicas y epistemológicas de los anteriores. Dan preferencia a la calcu­latoria numérica (cálculo escrito y no escrito), a la estimación. Suelen ser amantes de los juegos y de usar arte­factos tales como ábacos y calculado­ras.

 

El número, opinan, se aprende "haciendo", esto es contando y me­diante juegos de conteo. Tienen muy bien estudiado las fases del conteo, que combinan con actividades sobre representaciones de la "recta numéri­ca". Unos optan por el material Cuise­naire y otros por los ábacos, pero to­dos, de cuando en cuando, recurren también a dominós y juegos de bara­jas.

 

Profesores activos, en general, mezclan el uso de los materiales con problemas reales en la enseñanza de las operaciones. La competencia nu­mérica es, para ellos, esencial en el aprendizaje matemático. En este sen­tido la geometría que imparten suele ser preferentemente métrica.

 

Aritmetistas y lógico-conjuntis­tas coinciden en la importancia que encierra el lenguaje matemático, el ir paulatinamente construyéndolo, el rit­mo y dificultades de cada niño, la mo­tivación en el aprendizaje. Por ello, no supeditan su enseñanza al uso de libro de texto, aunque dispongan de él.

 

C) Finalmente, los eclécticos se mantienen en una posición equidistan­te. Pero, dentro de ellos, hay un sub­grupo que merece especial atención: el de los ambientalistas.

 

Los ambientalistas hallan en los primeros buenas argumentaciones: el aprendizaje, los procesos de simboli­zación, la investigación y el descubri­miento... Y en los segundos buenos materiales. Pero organizan la enseñan­za a partir de otros presupuestos ya antropológicos, ya sociopolíticos. Conceptualizaciones como la de "ma­temática informal" y "etnomatemáti­cas" son fundamentales para ellos.

 

Tratan de adaptar los contenidos al entorno. A partir de lo que los niños saben, de su vocabulario y expresio­nes, de lo habitual en el medio, co­mienzan a introducir conceptos nue­vos en un proceso en el que la progre­siva construcción del código matemá­tico es esencial. En este sentido se sienten impedidos a aprovechar el ma­terial que los niños tienen a su alrede­dor: hojas, canicas, cromos, tapones, lápices, etc.

 

Una pregunta, ¿para aprender a clasificar es necesario trabajar con ma­terial de tipo Bloques Lógicos o se aprende también (o quizás mejor) tra­bajando con material propio del am­biente: Baraja de cartas, cromos de animales,...?

 

Los ambientalistas tienden a en­focar su enseñanza a partir de problemas significativos para los niños o de situaciones reales. Tres ejemplos son característicos de este enfoque:

 

- Uno es el de la tienda. Montar una tienda en clase te proporciona un montón de recursos para la enseñanza del número y de las operaciones arit­méticas, amén de otros muchos apren­dizajes no estrictamente matemáticos. Actuar de compradores y de vendedo­res resolviendo problemas de precios, manejando dinero real o fotocopiados, resolviendo problemas que intencio­nadamente plantea el maestro, etc. Es uno de los mejores medios de hacer el aprendizaje matemático eficaz, ameno y, como ahora se dice, significativo.

 

- Otro es el de trabajar temas geométricos a partir de la observación del entorno. Simetrías, frisos y ritmos es uno de los más bonitos.

 

- Y, por supuesto, esas salidas que se hacen al monte, al río o a la playa en las que se recogen objetos: hojas de plantas, conchas de mariscos o de moluscos, piedras, ... es decir, se recoge aquello que es acorde con lo que se esté investigando respecto al área de Conocimiento del Medio. Esos materiales pueden ser clasificados, pe­sados, medidos,...

 

Los ambientalistas trascienden la polémica materiales estructura­dos versus no estructurado; lo im­portante, creen, es el cómo se use un material y si éste es del agrado de los niños, significativo para ellos. Por su­puesto que también debe ser correcto desde el punto de vista matemático.

 

Igualmente rompen las fronteras entre las disciplinas o áreas curricula­res. Se trabaja a partir de experiencias, mejor si favorecen la globalización. Ahora bien, como saben que el apren­dizaje matemático no es espontáneo, tienden a dirigirlo procurando tiempos específicos para las matemáticas, con situaciones materiales y ejercicios es­pecíficos. Gran parte de esos materia­les y ejercicios son preparados por ellos mismos, al hilo de las experien­cias previas. Los libros de texto son para ellos simples auxiliares.

 

El experimentalismo.

 

Ya hemos visto que hay una gran parte del profesorado reacio al uso de materiales manipulables y que, ade­más, no se les puede convencer de lo contrario.

 

Próximos a ellos están los que, esporádicamente recurren a algún ma­terial o artefacto para ilustrar la expli­cación, para que los niños vean los conceptos, comprendan lo explicado. Esta forma de usar el material es su­perflua. De todos modos es sabido que aprender a medir longitudes se apren­de midiendo longitudes, usando real­mente palos, cuerdas, metros, no­nius,... que aprender las medidas de capacidad es vano si no se sabe medir líquidos y ello se aprende midiendo realmente.

 

En el extremo opuesto están aquellos que piensan que si no es a través de la experiencia física y concre­ta el aprendizaje matemático no es concierte. Una posición radical de es­te tipo era la de Dienes cuando confia­ba en que los niños solos serían capa­ces de descubrir-construir los concep­tos y estructuras matemáticas si dispo­nían de buenos materiales y de fichas guía para su utilización. Esta posición está invalidada actualmente. No obs­tante, las posiciones de Dienes y la influencia Piagetiana están en la base del experimentalismo en matemáti­cas.

 

Se entiende por tal la posición que sostiene que todo aprendizaje se produce mediante la experiencia y, por tanto, toda la enseñanza de las mate­máticas debe estar basada en el manejo de materiales adecuados, estructura­dos o no estructurados. A partir de esa manipulación se van construyendo los conceptos, las relaciones, las opera­ciones,...

 

El experimentalismo ha mostra­do sus debilidades y es que en el apren­dizaje matemático, si bien es vital la experimentación concreta también lo es el uso de mediadores: la repre­sentación gráfica y el código matemá­tico. De la experimentación concreta surgen los conceptos y las relaciones, pero, posteriormente, estos conceptos y relaciones son en sí mismo "objetos matemáticos" no manipulables física­mente ni representable mediante mo­delos físicos. Es entonces cuando esta­mos verdaderamente haciendo mate­máticas. El experimentalismo, con fre­cuencia, impide que los niños alcan­cen este último nivel.

 

Para terminar.

 

El uso de material es imprescin­dible, además de por razones ya cita­das porque la clase cobra vida, toma otro estilo. Pero creer que manejando un buen material mis alumnos van a aprender matemáticas mejor es una equivocación. Como es otra, típica de Psicopedagogos, creer que sólo ha­ciendo determinadas fichas los niños subsanan sus deficiencias. Todo de­pende de cuando, cómo y qué sentido se le de a la manipulación.

 

Y ese sentido ha de ser el de la investigación, el del tanteo progresivo, orientando por medio de interrogantes adecuados y la experimentación de los niños. La construcción de las expresio­nes lingüísticas adecuadas y la codifi­cación matemática han de ir anexas a la investigación manipulativa.

 

Cualquier maestro puede hacer­se de material adecuado y barato: agua, papel, monedas, cuerdas, semi­llas,...tan cualificados o más que el comercial. Pero quien quiera recurrir al estándar tiene a su disposición una diversidad increíble de buenos mate­riales. ¡Animo!.

 

Para quien desee aproximarse al conocimiento de lo mejorcito son bue­nos los textos siguientes:

 

CASCALLANA, M.T.: "iniciación a la matemática. Materiales y recursos". Santillana (Aula XXI), Madrid 1.988.

VARIOS: "Materiales para construir la geometría" Síntesis, Madrid, 1.988.

HERNAN, F.y CARRILLO, E.: "Recur­sos en el Aula de matemáticas" Síntesis, Madrid, 1.988.

(1) Un buen libro sobre este punto es el de A. MICHELET: "Los útiles de la infancia", en heder, Barcelona, 1977.

(2) Aparte la experiencia personal de ca­da uno de nosotros, puede consultarse:

- R. ORTON, A.: Didáctica de las mate­máticas, pags. 116-118. Morata, 1990

- L. B. RESNICK Y W. FORD: La ense­ñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos, pags. 129-154. paidós, 1990

 

* M.C.E.P. - Málaga