TÍTULO: EVOLUCIÓN
HISTÓRICA DE LAS MATEMÁTICAS. INFLUENCIA EN LAS DEMÁS CIENCIAS.
Autores:
Otoniel Riverón Portela.
Juan Antonio Martín Alfonso.
Idalia González Companionis
Dirección: Universidad de Ciego de Ávila, Km.
9 carretera Ciego Morón.
Teléfonos: 033266434, 2-5337
Fax 033266365
E-mail: oto@centic.unica.cu
RESUMEN:
Este trabajo brinda una recopilación de los
principales momentos del surgimiento de la matemática como ciencia, así como
una descripción de los principales aportes realizados por las grandes
personalidades matemáticas en el dé cursar histórico de la humanidad.
INTRODUCCIÓN:
Matemáticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades,
y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y
propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como
la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a
los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el
álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a
considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce
condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o
simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría
exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas,
postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y
teoremas más complejos.
Trataremos
la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo
histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia
humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas
rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés
en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados,
seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente
por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los
números 5 y 10.
DESARROLLO:
Las
primeras referencias a las matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer
milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la
aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención
de conceptos matemáticos como los axiomas
o las demostraciones.
Los
primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema
de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10
(1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se
representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el
número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y
así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades,
las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en
duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.
Los
egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad, junto con la fracción, para
expresar todas las fracciones. Utilizando este sistema, fueron capaces de
resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos
elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el
área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como
ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides.
El
sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el
babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña
(cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de
flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por
estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias.
El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a
partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número
completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el
del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este sistema,
denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema
decimal (base 10).
Con el
tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les
permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo
grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de
tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de
Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo
tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés
compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de
algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados.
Los
griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los
egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas
abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y
demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI
a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la
importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de
sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números
y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.
En el
siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo
atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el
volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de
figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son
iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con
el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área
igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron
su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación
del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado).
Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando
instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que
esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas
no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.
A
finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad
de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una
de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen
dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la
proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban
los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este
cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, es lo que hoy
se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó
la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear
una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el
matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos
de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar
rigurosamente supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones
sucesivas.
Euclides,
matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también
escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que
componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento
matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la
geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los
inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y
volúmenes.
El
siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas,
como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven
contemporáneo, Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico,
basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de figuras
geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir
de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado
Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin
embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de
Arquímedes. También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de
ciertos cuerpos sólidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la
tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su
contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y
estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de
base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del
filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII.
Después
de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma
talla. Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo
elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios
convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras. Los libros
de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma
tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante
encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones
con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y
se estudian en el análisis diofánticos.
En
paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se
llevaron a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los
grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre
temas astronómicos. A principios del siglo II a.C., los astrónomos griegos
adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al
mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo
de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función
del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento.
Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo
de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas —las de Hiparco,
hacia el 150 a.C. En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la
maestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que
Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de
un círculo con incrementos, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran
correctas hasta la quinta cifra decimal.
Mientras
tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos
planos y se introdujo un teorema —que recibe el nombre del astrónomo Menelao de
Alejandría— para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros
arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para
resolver problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema
astronómico que sería utilizado hasta la época del astrónomo alemán Johannes
Keper.
En
Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de
estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que
dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente
a esta tradición. Sin embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia
del estudio de estas obras aparecieron en el mundo árabe.
Después
de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus
orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía
desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes
empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de “ciencias
extranjeras”. Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de
Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares,
escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.
Hacia
el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos
musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre
otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones
decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones
decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los
métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces
cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe AL-Jwrizml (de su
nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el
origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios;
al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos.
Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de
Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de
las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas
al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica
utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas
trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta
la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán
Regiomontano.
Finalmente,
algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de
números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la
resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron
la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las
traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los
griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las
matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo
Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en
álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron
principalmente en fuentes árabes para sus estudios.
Aunque
el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos
sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta
principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de
trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de
las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el
matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo
llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la
búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior.
Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría
de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático
francés Évariste Galois a principios del XIX.
También
durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y
algebraicos. El matemático francés François Viéte llevó a cabo importantes
estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran
influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de
Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.
Los
europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.
Durante
el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas
desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento
de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran
utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos
más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les
había duplicado la vida.
La
ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la
época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII
basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas
de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría
de números. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen
soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros
positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último
teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la
teoría de números.
En
geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El
primero fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de
Descartes, de su descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo
utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría
de las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó).
El Discurso del método, junto con una serie de pequeños tratados con los
que fue publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton
hacia 1660. El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la
publicación, por el ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de
la geometría proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes
y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología
excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría
analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX,
con los trabajos del matemático francés Jean Víctor Poncelet.
Otro
avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la
teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat
sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de
puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés
Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos
con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático
suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en
su Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo
para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes
aplicaciones en pujantes compañías de seguros.
Sin
embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin
lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos
diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos
anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los
estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura
Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho
años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el
cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación
de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.
Durante
el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y
Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física,
astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos
nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli
inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría
descriptiva. Joseph Louis Lagrange ,
también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en
su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden encontrar las
famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo
contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de
números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría
analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste
(1799-1825), que le valió el sobrenombre de ‘el Newton francés’.
El gran
matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas
fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus
aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se
convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas
disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para
resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió
para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas
básicas del cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las
velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange
era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas.
Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la
geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
En
1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico
y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades
finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo
problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de
cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático
alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los
números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la
actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass
también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más
importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle
—estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado
de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier
aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien
propuso su definición en los términos actuales.
Además
de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a
las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo
importantes avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich
Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos
números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los
trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann. Otro
importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las
sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen
hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las
matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones
que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los
conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de
Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como “enfermedad
de la que las matemáticas se curarán pronto”, forma hoy parte de los
fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva
aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.
Otro
descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo
fue la geometría no euclídiana. En esta geometría se pueden trazar al menos dos
rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a
ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia
que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y
publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevsky y
por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en
su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples
paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han
encontrado también aplicaciones en física.
Gauss
es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su
juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes
descubrimientos en teoría de números, un área en la que su libro Disquisitiones
arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis
doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del
álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por
ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la
órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de
potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de
superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.
De
mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental
por Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar
del mero estudio de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas
algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención del álgebra
simbólica por el inglés George Peacock. Otro avance destacado fue el
descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los
números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemático
irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico
estadounidense Josaih Willard Gibbs y los espacios ordenados de n
dimensiones del matemático alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso
importante fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de los trabajos
de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría
sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.
Del
mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar
la geometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie
lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las
geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger),
y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante
grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo
XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría conocida como
topología.
También
los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante
el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las leyes
del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo,
hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de
Cantor. El matemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas,
que afectaba al propio concepto de conjunto. Los matemáticos resolvieron este
problema construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para
eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían
aparecer otras paradojas —es decir, sin demostrar si estas teorías son
consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones
relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la
teoría A también lo es). Especialmente preocupante es la conclusión,
demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en
cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a
las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede
demostrar dentro del sistema.
En la
Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el
matemático alemán David Hilbert expuso
sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y
Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las
matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos
de la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de
Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía
podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba.
Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos
matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los
“problemas de Hilbert” ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional
espera los detalles con impaciencia.
A pesar
de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo
imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable,
primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las
computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el
siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó
una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo
una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación
de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención
del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación
programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso
a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas
finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio
de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan
diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra
abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios
problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el
problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX.
El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa,
con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.
Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad
de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).
CONCLUSIONES:
El
conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca.
Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más
completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han
sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al
mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que
incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.
·
"Matemáticas", Enciclopedia
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todos los derechos.
·
Historia e
Historias de matemáticas
Autor: Mariano Perero.
Editorial: Grupo Editorial Iberoamérica.
·
Libro de matemáticas 1º B.U.P
Autores: M. de Guzmán, J. Colera, A.
Salvador.
Editorial: Anaya.
·
Historia de la matemática
Volumen I.
Autores: J. Rey Pastor y José Belsini.
Editorial: Gedisa. 2ª edición.
·
Revista "Ciencia y
Vida"
Número 2. Abril de 1998
Páginas: 56-67.
Autor: C. Chauvenau.
·
Gran Enciclopedia
LAROUSSE Tomo 7 (pág. 40 - 41) .
Enciclopedia DURVAN Tomo 12
- 774 .
·
"HISTORIA E
HISTORIAS DE MATEMÁTICAS" (pág.3 - 4- 5 - 8- 136 - 137 - 138) Autor:
Mariano Perero. Grupo Editorial Iberoamérica.
Internet:
Web sobre Historia de las Matemáticas de la Universidad
de St. Andrews (Escocia)
Web sobre matemáticas de Kevin
Brown (USA)
NCSA
Universidad de Illinois (EE.UU) sobre documentos del museo Vaticano.