UTILICEMOS
LA ESCALA MUSICAL
Depósito
Legal: GR-1740/2000 ISSN 1577-2365
AUTORES: Erik Stengler Larrea.
PAÍS: España
EMAIL: eriks@wanadoo.es
INSTITUCIÓN EDUCATIVA: Museo de la Ciencia y el Cosmos, Tenerife
RESUMEN:
2ª parte de la
formación de la escala musical desde el punto de vista de la Teoría Física de
la Música.
Tenemos pues, no una, sino dos
escalas musicales formadas por intervalos que podríamos calificar como
“naturales” o “físicos”. Recordémoslos:
A la hora de tocar un instrumento, ¿cuál
utilizaremos? La pregunta es obvia, y la respuesta, inesperada: las dos, y otra
más. Pero vayamos por partes. Lo lógico es preguntarse por las ventajas e
inconvenientes de cada una de las que conocemos.
Para ello consideremos primero una situación propia
de la aplicación práctica de la escala musical: la modulación.
La modulación consiste en utilizar, dentro de una
pieza musical, distintos sonidos como nota base, es decir como la primera a
partir de la cual se aplica la escala.
Recuérdese que así como hemos utilizado en la
explicación de cómo se construye la escala musical el DO como “nota base”,
realmente podríamos haber empezado por cualquier otra: como los intervalos
entre notas son realmente cocientes de frecuencias, no hay ningún
problema para ello.
Pues
bien, si en una pieza musical se cambia la modulación, surge el principal
problema que plantean, en diferente medida, las dos escalas arriba mencionadas.
Veamos gráficamente el ejemplo de pasar de una modulación sobre DO a otra sobre
RE, con la escala de Aristógenes:
El problema es patente: las notas MI, FA#, LA y DO# no son
las mismas en una y otra modulaciones. Para utilizar las dos modulaciones en
una sola pieza, hay que introducir, pues, cuatro sonidos nuevos, en un teclado,
cuatro teclas nuevas.
El motivo de este “desfase” es la existencia
simultánea de tres tipos de semitono: la mitad del tono grande, la mitad del
tono pequeño y el semitono como tal. (Nos interesa considerar los tipos de
semitono más que los de tono puesto que, como dijimos, el semitono es el
intervalo mínimo distinguible por el oído humano.) En estos términos, y
resumiendo así el problema, diremos que entre los 12 semitonos que
constituyen la escala de Aristógenes hay tres tipos de semitono diferentes.
Podría parecer que la escala de Pitágoras, con su
regularidad, no presenta este problema, pero fijándonos bien veremos que de
hecho contiene dos tipos de semitono: el semitono y la mitad del tono. El
problema de la modulación es de menor magnitud, pero también se da:
Así
pues, vemos que vuelve a darse la situación de “desfase”, cuya causa es ahora
que entre los 12 semitonos que constituyen la escala de Pitágoras hay dos
tipos de semitono diferentes:
Realmente, el problema se plantea para instrumentos de
entonación fija, como el piano, en el que a cada tecla le corresponde una nota,
o la guitarra, en la que, una vez afinada, a cada traste le corresponde un
tono. Para cambiar la modulación con la escala de Arsitógenes habría que
introducir teclas o trastes intermedios. En cuanto se introdujeran más cambios
en modulación la cantidad de teclas se haría totalmente impracticable: de
hecho, se llegaría hasta ¡72 teclas entre un DO y el siguiente!
En instrumentos como el violín, o en el canto, que son
casos de entonación libre, una persona con muy buen oído (que es lo que se
espera que tengan los músicos) puede reproducir las notas intermedias
correctamente para cada modulación, con lo que ya tenemos una respuesta parcial
a la pregunta que planteamos aquí: en casos en que existe la posibilidad de
la entonación libre vale, en principio, cualquiera de las dos escalas, aunque
la de Pitágoras exige una menor proliferación de sonidos para poder compaginar
diferentes modulaciones en una sola pieza.
¿Y qué hacemos con los instrumentos de entonación fija? El
modo en que hemos planteado la causa
del “desfase” invita a plantear ya la solución más obvia: hay que buscar una
escala con un sólo tipo de semitono.
Con
los conocimientos de hoy en día la tarea es sumamente fácil: cogemos la octava,
la dividimos en 12 segmentos, y a cada uno lo llamamos semitono, siendo
dos semitonos equivalentes a un tono:
A
esta escala se la llama escala temperada de modo igual. Sencillo,
¿verdad? Pues así de fácil es obtener
una escala temperada. Pero históricamente los músicos han utilizado otras
maneras de obtener escalas temperadas que hoy podrían parecer algo enrevesados,
pero hay que tener en cuenta que ellos no conocían el tratamiento
matemático-físico que subyace a esta explicación. Más abajo veremos los
planteamientos históricos más relevantes, pero antes completemos la
representación gráfica con una tabla que pone de manifiesto qué significa, en
términos de intervalos y frecuencias, el diagrama que acabamos de mostrar.
La
idea es que, como sabemos, a cada intervalo le corresponde una relación
con la nota anterior y que esta relación consiste, no en sumar una frecuencia,
sino en multiplicar el valor de la nota anterior. Así, para obtener la
escala temperada hay que conseguir un intervalo que aplicado 12 veces seguidas a partir de un valor (una cifra que
multiplicada 12 veces a un valor inicial), dé el doble de éste, es decir, una
octava:
Obsérvese, pues, que utilizando 12 semitonos iguales, y
manteniendo fija la condición de que una octava ha de equivaler a multiplicar
por dos, hemos tenido que abandonar la quinta justa, de valor 3/2 = 1.5, y
sustituirla por la quinta temperada de valor 1.4983. Los demás intervalos
(“justos”, “grandes”, “mayores”, “pequeños” o “menores”) también desaparecen en
favor de intervalos “temperados”, formados todos por dos, tres, cuatro...
semitonos de 1.05946.
Pero, como decíamos, los músicos no disponían de esas
herramientas matemáticas ni de calculadoras para realizar estas operaciones.
Es
probablemente por eso que, antes de llegar a este temperamento tan sencillo y,
desde luego, matemáticamente lógico, hubo diversos intentos de solucionar el
problema. Veamos algunos:
El temperamento desigual.
Algunos autores incluso ponen en tela de juicio que se trate de un
temperamento. Se basa en el conocimiento intuitivo que se tenía de que la
quinta justa era demasiado “grande” para dar una escala temperada. Había, pues
que reducirla.
El método elegido se basaba en forzar que la nueva
quinta (quinta temperada) sea tal que la sucesión de cuatro de ellas a
partir de una nota, dé una frecuencia 5 veces mayor que la de partida.
Si comenzamos, pues, con un DO, ¿qué nota
corresponde a una frecuencia 5 veces mayor? Una octava es el doble, dos octavas
el cuádruple. Si multiplicamos además por 5/4, obtenemos el quíntuple que
buscamos. Si nos hemos fijado bien, hemos recorrido dos octavas y una tercera
mayor, para llegar a un MI. Si queremos forzar, como decíamos, que en ese
espacio quepan exactamente cuatro quintas temperadas por este método, éstas
tendrán que medir 4Ö5 = 1.49535 [aclaración: el cinco aparece dentro
de la raíz por lo de ser el quintuple, no porque se trate de “quintas”],
algo menos, pues, que la quinta justa, que mide exactamente 1.5 (nótese que la
sucesión de cuatro quintas justas daba (3/2)4 = 5.0625).
El problema de este método surge al considerar un
rango de notas determinado, pongamos como ejemplo 7 octavas (las que tiene un
piano). En este caso la última 
nota tiene una frecuencia 128
veces mayor que la primera. Este intervalo debería equivaler, en una escala
temperada satisfactoriamente (como ocurre en el temperamento igual) a
doce quintas. Pero con este temperamento se acumula un error y doce quintas se
quedan claramente muy cortas (dan un intervalo de 93.4489 con respecto a la
nota de partida) . Para compensar y que 12 quintas equivalgan exactamente a 7
octavas se introduce en la sucesión de quintas temperadas una quinta desigual
a las demás, lo cual da nombre al método. Calculemos su valor:
11 quintas temperadas dan (1.49535)11
= 83.5935
para llegar a 128, la quinta desigual
necesita ser de 128 / 83.5935 = 1.5312
Esa quinta desigual se llamaba “quinta del
lobo”, dado que el error acumulado que pretende corregir es considerable y los
organistas comparaban su desafinación con un aullido. En la afinación de un
piano por este método se procuraba que la quinta del lobo quedara en una zona
poco utilizada del teclado, pero aún así no había manera de evitar que tarde o
temprano se escuchara ese aullido...
En
paralelo a esta solución, surgieron también intentos de paliar el problema de
la modulación, en el cual, recordémoslo, está el origen de la necesidad de
buscar una escala temperada. Así, para añadir alguna posibilidad de modulación,
se construyeron instrumentos que contaban con una tecla adicional, por ejemplo
el caso en que se diferenciaba entre el RE# y el Mib. De todos modos,
recordemos que para incluir todas las posibilidades de modulación, se
necesitarían 72 teclas por octava, con lo que queda patente que añadir una o
dos notas intermedias es una solución poco eficaz.
Fue
alrededor de 1700 cuando se comenzó a afinar claves y pianos con la
escala temperada de modo igual. El físico alemán Chladni, que por cierto
fue también uno de los primeros en sugerir el origen extraterrestre de los
meteoritos, de los que tenía una amplia colección, desarrollaría en la segunda
mitad del siglo XVIII la consideración matemática que lleva a esta escala
temperada, pero anteriormente ya hubo músicos que, empíricamente, habían
utilizado un temperamento igual. Concretamente, fueron los vihuelistas
españoles quienes la introdujeron en su práctica, y Bartolomé Ramos de Pareja,
profesor de música en la Universidad de Salamanca quien la sistematizó en 1482,
en la única obra suya que se conserva, la Musica practica. Y resulta
que, entre los músicos actuales, se conoce a la escala temperada de modo igual
por la obra musical “Clave bien temperado” de J. S. Bach, quien con esta pieza
musical consagró el uso de esta escala temperada, mostrando que con ella se
pueden utilizar todas las posibles modulaciones en una sola partitura.
Pero la
historia no acaba aquí. Los matemáticos nunca cesan en sus esfuerzos de refinar
sus métodos y, en el caso de la escala musical, el hecho de abandonar
intervalos que surgen “naturalmente”, como los intervalos “justos”, “grandes”,
“mayores” o “pequeños”, no les dejaba del todo satisfechos. Así pues, el
matemático Gerardo Mercator intervino en el siglo XVI proponiendo una escala
con 53 teclas por octava, que permite la presencia de quintas y terceras
mayores casi perfectas. “Casi”, porque, como decíamos, los intervalos perfectos
solo se preservarían con 72 teclas. Pero sólo se sabe de dos órganos que se
construyeron con la escala de Mercator, en el siglo XIX. Y no tuvieron éxito,
debido a la dificultad de tocarlos.