APUNTES PARA LA
ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
SIGNOS TEORIA Y PRACTICA DE LA EDUCACIÓN
.Número 4 . Página 52/57 . Julio - Diciembre 1991 . ISSN 1131-8600
El modelo de
enseñanza-aprendizaje de van Hiele
GLORIA MARÍA BRAGA*
En la situación actual de la enseñanza de la geometría, y
particularmente en el caso español, la insistencia en enseñar geometría se hace
patente. Ahora bien, ya no se trata sólo de defender la importancia y necesidad
de enseñar geometría, sino que el problema crucial en este momento es de
discutir qué geometría debe ser enseñada en la escuela y cómo. En
definitiva nos encontramos en un momento histórico en el que la reacción al
carácter deductivo y formal que la enseñanza de la geometría ha adoptado en los
últimos tiempos nos obliga a investigar los problemas didácticos
implicados en su enseñanza. Para ello el modelo de enseñanza –aprendizaje de
los van Hiele se presenta como enormemente rico.
Si hacemos una revisión
de los trabajos de investigación didáctica psicológica relacionados con
la enseñanza de la geometría, tal y como ha hecho ARRIETA, J.J. en su tesis
doctoral (ARRIETA, J. J. 1987), nos encontramos con el escasísimo número de
ellos, sobre todo en comparación con los referidos al número y a las
operaciones aritméticas. Esto no es de extrañar si tenemos en cuenta la
situación de la enseñanza de la geometría a partir de los años 60, en relación
con el movimiento de la matemática moderna. Las
dos escuelas psicopedagógicas que más ideas han aportado al respecto, han
sido la escuela Piagetiana y la de los esposos van Hiele, que aunque han
publicado sus estudios e investigaciones con anterioridad a los años 60, han
permanecido ignoradas hasta muy recientemente.
Efectivamente, los textos
de PIAGET e INHELDER y PIAGET, INHELDER y SZEMINSKA, publicados en los
años 46 y 48, recogían las investigaciones sobre la representación del espacio
y la geometría espontánea en el niño (1). Estos dos textos junto con el
publicado posteriormente sobre la imagen mental en el niño han definido el
campo de estudio de los conceptos espaciales y geométricos. Las tesis
piagetianas han potenciado y favorecido la adopción de determinadas medidas
curriculares, como por ejemplo la introducción de las nociones topológicas en
los primeros niveles de escolaridad. Un ejemplo de esto son los Programas
Renovados en nuestro país.
La otra gran Escuela
Psicopedagógica de la que se ocupa este artículo es la escuela holandesa de los
esposos Van Hiele, prácticamente desconocida en el mundo educativo español.
En los años 50, los
esposos Pierre M. van Hiele y Dina van Hiele-Geldof, trabajaban como profesores
de geometría de enseñanza secundaria en Holanda. A partir de su experiencia
docente, elaboraron un modelo que trata de explicar por un lado cómo se produce
la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes, otro
cómo puede un profesor/a ayudar a sus alumnos/ as para que mejoren la calidad
de su razonamiento (2). De esta forma los componentes principales del modelo de
Van Hiele son su teoría de los niveles de razonamiento, que explica cómo
se produce el desarrollo en la calidad de razonamiento geométrico de los estudiantes
cuando éstos estudian geometría, y las fases de aprendizaje, que
constituye su propuesta didáctica para la secuenciación de actividades de
enseñanza-aprendizaje en el aula, con el objeto de facilitar el ascenso de los
estudiantes de un nivel de razonamiento al inmediatamente superior. Vamos a
explicar brevemente en qué consisten ambos componentes del modelo (3).
Los niveles de razonamiento
Los niveles de
razonamiento describen los distintos tipos de razonamiento geométrico de los
estudiantes a lo largo de su formación matemática, que va desde el razonamiento
intuitivo de los niños de preescolar hasta el formal y abstracto de los
estudiantes de las Facultades de Ciencias. De acuerdo con el modelo de van
Hiele si el aprendiz es guiado por experiencias instruccionales adecuadas,
avanza a través de los cinco niveles de razonamiento, empezando con el
reconocimiento de figuras como todos (nivel 1), progresando hacia el
descubrimiento de las propiedades de las figuras y hacia el razonamiento
informal acerca de estas figuras y sus propiedades (niveles 2 y 3), y
culminando con un estudio riguroso de geometría axiomática (niveles 4 y
5). El nivel 1 es denominado nivel de reconocimiento o visualización; el
nivel 2, nivel de análisis; el nivel 3 clasificación o abstracción; el
nivel 4 deducción, y el nivel 5 rigor (GUTIERREZ, A. y
JAIME, A. 1990) (BURGER, W. F. y SHAUGHNESSY, J.M. 1986). El modelo es
recursivo, es decir cada nivel se construye sobre el anterior, coincidiéndose
el desarrollo de los conceptos espaciales y geométricos como una secuencia
desde planteamientos inductivos y cualitativos, hacia formas de razonamiento
cada vez más deductivas y abstractas. En la bibliografía existente sobre el
tema se pueden encontrar listas muy completas de las características de los
distintos niveles.
Las fases de aprendizaje
Mientras que los niveles
de razonamiento nos orientan acerca de cómo secuenciar y organizar el currículo
geométrico de una forma global, el objetivo de las Fases de aprendizaje es
favorecer el desplazamiento del alumno/a de un nivel al inmediatamente superior
mediante la organización de las actividades de enseñanza-aprendizaje, lo que ha
permitido que el modelo tuviera una influencia real en la elaboración de
currículos de geometría en distintos países como es el caso de la Unión
Soviética, EE.UU.., Países Bajos, etc.
Las fases de aprendizaje
son las siguientes:
-Información.
-Orientación
dirigida.
-Explicitación.
-Orientación
libre.
- Integración.
Resumiendo Las
características fundamentales de cada fase, en la primera se pone a discusión
del alumno/a material clarificador del contexto de trabajo. En la segunda fase
se proporciona material por medio del cual el alumno/a aprenda las principales
nociones del campo de conocimiento que se está explorando. El material y las
nociones a trabajar, se seleccionarán en función del nivel de razonamiento de
los alumnos/as. En la tercera fase conduciendo las discusiones de clase, se
buscará que el alumno/a se apropie del lenguaje geométrico pertinente. En la
cuarta fase se proporcionará al alumno/a materiales con varias posibilidades de
uso y el profesor/a dará instrucciones que permitan diversas formas de
actuación por parte de los alumnos/as. En la quinta fase se invitará a los
alumnos/as a reflexionar sobre sus propias acciones en las fases anteriores.
Como resultado de esta quinta fase, los autores entienden que el alumno/a
accede a un nuevo nivel de razonamiento. El estudiante adopta una nueva red de
relaciones que conecta con la totalidad del dominio explorado. Este nuevo nivel
de pensamiento, que ha adquirido su propia intuición, ha sustituido al dominio
de pensamiento anterior (FUYS, D.; GEDDES, D. y TISCHLER, R. 1984).
Piaget versus Van
Hiele
Si comparamos la teoría
piagetiana con la de los esposos van Hiele, encontramos similitudes y
diferencias que nos ayudan a valorar más apropiadamente la gran aportación, en
el campo de la enseñanza de la geometría del
modelo van Hiele. El propio van Hiele, P. ha señalado en alguna
ocasión sus discrepancias con respecto al modelo piagetiano (4).
Tanto la teoría
piagetiana como el modelo de van Hiele conciben el desarrollo de los conceptos
espaciales y geométricos como una secuencia desde planteamientos inductivos y
cualitativos hacía formas de razonamiento cada vez más deductivas y abstractas,
a la vez que ambos modelos se basan en niveles y/o etapas siendo éstos de
carácter recursivo en los dos casos. Sin embargo los dos modelos presentan
características diferenciales que convierten al modelo de van Hiele en un modelo
de mayor virtualidad didáctica. Vamos a exponer en líneas generales
cuáles son esas características diferenciales:
1.
La teoría piagetiana es una teoría del desarrollo, no del aprendizaje, por lo
que no se planteó el problema de cómo provocar el avance de los niños/as de un
nivel al siguiente. Se trata de una investigación de carácter genérico cuyo
marco teórico lo constituyen las teorías del aprendizaje y del desarrollo. El
proceso de aprendizaje es considerado como un proceso madurativo, por lo que el
valor de la enseñanza es disminuido.
En
contraste, la teoría de los autores holandeses, surge de la preocupación por
dar respuesta a los problemas reales que ellos mismos y sus alumnos/as
encontraban en la clase de geometría. Por este motivo, el problema didáctico
acerca de cómo ayudar a los alumnos/as en el ascenso de un nivel de
razonamiento al siguiente se configuró en el problema de investigación
fundamental, pudiéndose afirmar que nos encontramos ante una teoría de la
enseñanza-aprendizaje de la geometría (5). Esta preocupación por estudiar
cómo puede el profesor/a facilitar el ascenso de razonamiento geométrico de sus
alumnos/as fue la que les llevó a formular la segunda gran aportación del
modelo: las Fases de aprendizaje.
En
este sentido, el modelo de van Hiele es, a pesar de su antigüedad, un buen
representante de las líneas más actuales de investigación en Didáctica de las
Matemáticas, construyendo una teoría propia en una subárea de investigación
(geometría), y dando gran importancia a los contextos interactivos en el aula y
al papel del profesor/a (ARRIETA, J. J. 1989).
En
relación con lo anteriormente expuesto, el interés por empezar a estudiar en
nuestro país el modelo de Van Hiele, así como por empezar a utilizarlo como
elemento de reflexión en la elaboración de proyectos curriculares en el área de
geometría, se justifica por tratarse de una teoría educativa y no
psicogenética, como es el caso de las investigaciones piagetianas. Es por esta
razón por lo que los intentos de aplicar el modelo en el campo de la educación
matemática han sido mucho más fructíferos. Los autores no conceptualizan los
niveles de razonamiento como estadios del desarrollo sino como etapas por las
que el alumno/a va avanzando siempre y cuando participe en actividades de
enseñanza- aprendizaje adecuadas. El papel asignado a la enseñanza en cuanto a su
capacidad para provocar el avance de los alumnos/as a través de los diferentes
niveles de razonamiento es decisivo.
2.Otra
de las características diferenciales entre ambas teorías hace referencia al papel
otorgado al lenguaje. Mientras la teoría piagetiana dio escasa importancia
al papel jugado por el lenguaje en el ascenso de un nivel o etapa al siguiente
(6), para los van Hiele el papel jugado por el lenguaje en la estructuración
del pensamiento es decisivo, y se desarrolla en niveles de forma paralela a los
niveles de razonamiento. El modelo defiende que los distintos niveles de
razonamiento geométrico poseen una especificidad de lenguaje. Por consiguiente
no se debe menospreciar el papel otorgado al lenguaje matemático utilizado en
el aula. El profesor/a tendrá que conocer el nivel de dominio del lenguaje
geométrico de sus alumnos/as para adaptarse a él, y procurar que éste avance en
complejidad hacia un lenguaje más estructurado y abstracto. La estructuración
del lenguaje se va construyendo de forma pareja a la estructuración geométrica
visual y a la estructuración abstracta del pensamiento.
3.Por
otra parte, la teoría de los autores holandeses, a pesar de surgir en el
momento en el que el movimiento de la Matemática Moderna surgía con fuerza,
asume una aproximación a la naturaleza del conocimiento matemático, —entendido
como actividad, inducción e investigación que avanza desde su fundamentación
empírica hacia niveles superiores de abstracción— y una concepción del sentido
o papel de la enseñanza en claro desacuerdo con la defendida por dicho
movimiento, y al que la teoría piagetiana concedió su apoyo. El problema de
enseñanza de la matemática no es para los autores un problema de lógica de la
disciplina sino un problema fundamentalmente didáctico. La teoría de los van
Hiele considera el proceso de aprendizaje como un proceso de reinvención en un
momento en el que se consideraba que si el análisis era capaz de poner de
manifiesto la existencia de una estructura deductiva de las matemáticas, éstas
deberían ser inculcadas con esa estructura deductiva. En contraposición con
esta idea, enseñar matemáticas es para los autores ,iniciar al alumno/a a una
actividad, por lo que el método empleado no puede reducirse a los productos
acabados de la disciplina, sino a sus actividades. FREUDENTHAL, H. considera el
trabajo de los autores como el primer trabajo de calidad que parte de esta
perspectiva, y critica aquellas posturas que analizan la estructura de la
materia a enseñar antes de construir el sistema de enseñanza (HERNANDEZ, J.
1978). Este análisis de las matemáticas en tanto que actividad, dota al modelo
de un interés especialmente relevante para nosotros, en la medida que sitúa el problema
didáctico en la respuesta a la siguiente pregunta:
¿Qué tipo de problemas
hemos de presentar a los alumnos/as para que su actividad e investigación en
torno a los mismos les conduzca hacia formas superiores de intuición y abstracción geométrica?
En la situación actual de
la enseñanza de la geometría, y particularmente en el caso español, la
insistencia de enseñar geometría se hace patente. Ahora bien, ya no se trata
sólo de defender la importancia y necesidad de enseñar geometría, sino que el
problema crucial en este momento es el de discutir qué geometría debe ser
enseñada en la Escuela y cómo. En definitiva nos encontramos en un momento
histórico en el que la reacción al carácter deductivo y formal que la enseñanza
de la geometría ha adoptado en los últimos tiempos nos obliga a investigar los
problemas didácticos implicados en su enseñanza. Para ello el modelo de van
Hiele se presenta como enormemente rico.
Si a eso le unimos el
proceso de reforma curricular en la que se encuentra nuestro país en la
actualidad, y en el que la enseñanza de la geometría parece volver a tener un papel
relevante en la enseñanza primaria y secundaria, alejándose de la postura
claramente "modernista" adoptada en los Programas Renovados, la
necesidad de dar a conocer el modelo en el campo educativo español parece
relevante y necesaria (7).
Implicaciones
curriculares del modelo
El modelo de van Hiele
proporciona un esquema útil de organización del currículo y del material de
aprendizaje que ha tenido una influencia real en la elaboración de currículos
de geometría en distintos países., como es el caso de la Unión Soviética. Los
educadores soviéticos fueron los únicos, a excepción de los holandeses (país de
origen del modelo), que al conocerlo y tras unos años de intensas
investigaciones y experimentaciones, incorporan el modelo de van Hiele como
base teórica para la elaboración de la nueva forma curricular que estaban
poniendo en marcha y cuya implantación definitiva se produce en 1964
(WIRSZUP, I. 1976). Mucho más tarde ser iniciaron en EE.UU.. y Europa
investigaciones curriculares en esta línea, aunque de mucha menos relevancia
que los trabajos soviéticos.
De la revisión de las
aportaciones teóricas y prácticas del modelo van Hiele en la comunidad
educativa internacional (Unión Soviética, EE.UU.., Canadá, Holanda, y
España), así como de las diversas investigaciones y desarrollos curriculares
basados en el mismo, se pueden deducir una serie de implicaciones generales de
carácter curricular:
De la revisión de los
trabajos realizados a nivel internacional sobre el modelo de van Hiele , se
puede deducir también un conjunto de principios de procedimiento,
entendidos éstos como "normas dirigidas al profesor indicándole
actitudes en su trabajo" (ROZADA, J. M.; CASCANTE, C. y ARRIETA, J.
J. 1989, pp. 113).
Principios de
procedimiento
1.El
profesor/a partirá del hecho de que los estudiantes poseen un almacén
significativo de concepciones y propiedades de los objetos materiales.
2.El
profesor /a procurará , a partir de la experiencia previa de los
alumnos/as –es decir de la observación de figuras concretas-, que formen
estructuras geométricas , y pondrá en relación estas observaciones con una
forma "geométrica" de verlas.
3.El
profesor/a diseñará actividades de enseñanza-aprendizaje en el aula teniendo en
cuenta el nivel lingüístico y de razonamiento de los alumnos/as.
4.El
profesor/a procurará conocer de qué forma es estructurado el espacio de forma
espontánea por los alumnos/as, para partiendo de esa percepción, diseñar
actividades que permitan al estudiante construir estructuras visuales
geométricas y por fin razonamiento abstracto. Para ello el profesor/a
modificará progresivamente el contexto en el que aparecen los objetos en
una dirección matemática alejándose del empirismo.
5.El
profesor/a estará atento a la adquisición de "insight" (8) por parte
de los alumnos/as, para lo que es necesario que el diálogo sea la pieza clave
de la enseñanza. El profesor/a animará a los alumnos/as a hablar acerca
de los conceptos geométricos y a desarrollar un lenguaje expresivo , respetando
en un primer momento sus propias expresiones y lenguaje , para ir introduciendo
progresivamente el lenguaje geométrico.
6.El
profesor/a procurará conocer el correlato mental de las palabras y conceptos
que utilizan los alumnos/as y que él necesita, por medio de actividades
diseñadas a tal fin y por medio del uso continuo del diálogo en el aula.
7.El
profesor/a diseñará actividades de clarificación y complementación de dicho
correlato mental que permitan que éste coincida con el significado de la
palabra en la disciplina.
8.El
profesor/a fomentará el trabajo consciente e intencional de los alumnos/as con
la ayuda de materiales manejables. El material ha de poseer el fundamento del
desarrollo lógico de la geometría. El material ha de ser autocorrectivo.
9.El
profesor/a permitirá a los alumnos/as trabajar con material concreto sólo
cuando sea necesario para construir la teoría. El periodo de acumulación de
hechos de forma inductiva no debe ser prolongado demasiado. El alumno/a debe
y puede usar la deducción.
En general, la
investigación ha demostrado la adecuación del modelo para juzgar el
entendimiento de los estudiantes en geometría –BURGER, W.F. y
SHAUGHNESSY, J.M. (1985), (1986); FUYS, D; GEDDES, D. y
TISCHLER, R. (1988); MAYBERRY (1983) - . También ha demostrado que se
pueden diseñar materiales y construir una metodología que respete los
niveles y promueva el ascenso a través de los mismos- BURGER, W. F. Y
SHAUGHNESSY, J. M. (1985), (1986); FUIS, D. GEDDES, D. y TISCHLER, R. (1988).
La necesidad ahora , es
la de profundizar y definir más adecuadamente las Fases de aprendizaje ,
investigando su valor y aplicación didáctica, así como desarrollar materiales y
proyectos curriculares inspirados en el modelo, que permitan evaluar el interés
del mismo a través de su puesta en práctica en el aula, ahora que el modelo y
las investigaciones desarrolladas en torno a él han dejado por lo menos una
cosa clara:
"El pensamiento
geométrico puede ser accesible a todo el mundo"
(CROWLEY,
1987, pp 15) (9)
(*) Gloria María Braga
Blanco es profesora del Departamento de Ciencias de la Educación de
la Universidad de Oviedo. Teléfono de contacto 985357345.
Notas:
(1)Traducidos
al inglés en 1956 y 1960 respectivamente.
(2)Esta
teoría la exponen por primera vez en sus tesis doctorales , leídas en 1957. Ver
FUYS, D; GEDDES, D. y TISCHLER, R (1984).
(3)Para
consultar más en profundidad las aportaciones del modelo en la bibliografía
española, ver GUTIERREZ, A y JAIME , A. (1984).
(4)VAN HIELE, P. (1986): Structure
and insight. Academic Press. New York, pp 5-6, pp 99-108.
(5)Un
claro y bellísimo ejemplo es la tesis doctoral de DINA VAN HIELE-GELDOF
presentada en 1957. En FUYS, D; GEDDES, D y TISCHLEER, R
(1984) , pp 5-207.
(6)Recordemos
la crítica hecha por FREUDENTHAL, H. a los trabajos piagetianos
basada fundamentalmente en el papel jugado por el lenguaje en los mismos . VER
FREUDENTHAL, H. (1973): Mathematics as an educational task. Reidel.Dordrecht,
pp 662-677.
(7) En este sentido, hay que referirse a la enorme labor
de difusión que el Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la
Universidad de Valencia, y en concreto los profesores ANGEL GUTIERREZ y ADELA
JAIME han estado y están realizado en este sentido.
(8) Una persona muestra "insight" si: (a) es capaz de actuar en una
situación no familiar; (b) ejecuta de forma competente (correcta y
adecuadamente) los actos requeridos por la situación; y (c) pone en juego
intencionalmente (deliberada y conscientemente), un método que resuelve la
situación. (HOFFER, 1983).
(9) La traducción de la cita es de la autora. Originalmente:
"Geometric thinking can be accesible to everyone" (CROWLEY, 1987,
pp.15).
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