El concepto de función a través

de los textos escolares:

reflexión sobre una evolución

 

Mercedes García Blanco

Salvador Llinares Ciscar

 

                                                             Resumen

 

Este estudio examina la forma en que se caracteriza el contenido referido al concepto función en diversos libros de texto de Matemáticas correspondientes a las edades 11‑16 años. Esta caracterización se realiza analizando las tareas/ actividades presentadas en los diferentes textos a través de un sistema de categorías bidimensional: (i) el sistema de representación utilizado y (ii) la perspectiva adoptada en relación al concepto función (proceso, objeto). Del análisis realizado se obtuvo una tipología de tareas presentadas en los textos. La perspectiva temporal adoptada en el proceso de análisis ha mostrado una traslación en la conceptualización de la noción defunción desde una perspectiva basada en la definición conjuntista (Dirichelet‑Bourbaki) hacia la noción de función como modelo de matematización de situaciones de covariación. Subrayamos las diferentes características de las actividades de aprendizaje para el alumno derivadas de cada una de estas conceptualizaciones.

 

Descriptores: Libros de texto. Representaciones matemáticas. Actividades de aprendizaje. Concepto defunción.

 

   The concept of function through textbooks: Reflexion about an evolution

                                                                              Abstract

 

       This study examines how the conceptofmathematicalfunction is characterized in several textbooks (age 11‑16). The analysis unit considered was the tasksl activities. Two aspects of conceptual framework were used: (i) mathematical representations used in textbooks, and (ii) perspectives of function concept. From analysis carried out we have obtained a task typology. The temporary view adopted in the analysis has allowed to identify a translation from a perspective focused on Dirichelet‑Bourbaki concept of function, to a conceptualization of the concept of function as a mathematization model in covariant situations. We highlightdifferentfeatures of learning tasks to student from this conceptualization.

 

Keywords: Textbooks. Mathematical representations. Learningactivities. Concept of function.

 

Introducción

 

En las aulas de Matemáticas de todos los niveles educativos, los libros de textos y los materiales escritos (Unidades didácticas, hojas de ejercicios, etc) son uno de los principales, y clásicos, materiales de apoyo para la enseñanza. Este hecho es fácilmente constatable por muchos padres de familia al comienzo del curso escolar. Desde un punto de vista superficial, se puede observar el gran esfuerzo realizado por las editoriales en actualizar la "presentación" y formato. La tipografía utilizada, los dibujos empleados, la mejora de las técnicas de impresión, etc., han modificado su apariencia externa.

Podemos considerar a los textos como importantes recursos instruccionales, que caracterizan de alguna manera la enseñanza y el aprendizaje. La forma en que los libros de texto reflejan determinados aspectos de los conceptos puede influir en lo que los alumnos aprenden (qué y cómo) si admitimos que proporcionan la mayor parte del contenido matemático que los estudiantes deben aprender, y son además una de las principales fuentes de actividades y tareas. Nos podríamos plantear si el modo en que ese contenido matemático esta reflejado en los textos utilizados, determinará, en cierta medida, algunas características de la comprensión que los alumnos consigan.

A diferencia de lo que sucede con las variaciones externas, resulta difícil determinar silos textos han incorporado, y de qué manera, los resultados obtenidos en investigaciones sobre la forma en que se aprenden algunas nociones matemáticas, realizadas en el campo de la Educación Matemática. Por otro lado, existen relativamente pocos análisis del modo en que diferentes libros de texto "reflejan" el contenido matemático.

Por su propia naturaleza, los libros de texto se apoyan en diferentes representaciones para comunicar información al lector. Las representaciones utilizadas para los conceptos se convierten muchas veces en medio y en objeto que tiene, a su vez, que ser aprendido (Kaput, 1987). Por ejemplo, algunas representaciones para la idea de función son: la expresión algebraica, una tabla, una gráfica o una situación funcional. Así, una variable que caracteriza el aprendizaje apoyado en los textos, estará constituida por los contextos y las representaciones empleadas.

Podemos suponer que las características del tipo de tareas y ejercicios planteados en ellos, como son los modos de representación y la actividad vinculada a cada tarea, están en coherencia con una conceptualización de la noción de función (en particular en su introducción en estos niveles), asumida implícitamente. Por consiguiente, otra variable a tener en cuenta, es la naturaleza de la actividad que se genera con la tarea/ejercicio planteada en el libro y la forma de utilizarla.

 

Diferentes modos de analizar los textos

 

Dos líneas de actuación se han desarrollado en relación al análisis de los libros de textos, que pasamos a desarrollar brevemente. Podemos considerar:

1) Estudios centrados en el análisis de la forma en que se reflejan en ellos los contenidos, adoptándose dos puntos de vista:

‑ Los que se han ocupado del propio instrumento de análisis que se aplica al texto. Entre ellos:

a) Chiappetta y sus colaboradores (1991) se han centrado en el análisis del contenido de diferentes textos de Química, y en particular del énfasis colocado sobre diferentes aspectos de la ciencia y la actividad científica, reflejados en la forma de tratar el contenido (la ciencia como cuerpo de conocimiento, como una forma de investigar, como una forma de pensar, la interacción entre ciencia, tecnología y sociedad).

b) Remillard (1990) analiza las suposiciones pedagógicas y epistemológicas del contenido matemático escolar de diversos textos de matemáticas. En particular, en relación a las perspectivas que sobre los problemas y resolución de problemas se adoptaba.

c) Van Dormolen y Otte (1986), desde una perspectiva más general, aportan una perspectiva analítica, destacando algunos principios que deben ser tenidos en cuenta. Entre ellos, naturaleza del aprendizaje pretendido, errores, etc.

d) Kang y Kilpatrick (1992) utilizan la teoría de la transposición didáctica para analizar algunos libros de álgebra, examinando la utilidad de los conceptos vinculados a dicha teoría para el análisis de textos matemáticos.

e) Sanz (1990) se centra en la necesidad de considerar los modos de representación utilizados, para realizar inferencias relativas al significado de las ideas matemáticas que los textos transmiten.

‑ Los que eligen un tópico concreto y examinan la forma en que este contenido particular se contempla en diferentes textos. Como Kücheman (1987), que intenta ver como un mismo tópico (razón y proporción) se caracteriza en diferentes libros de texto. Utiliza como esquema de referencia la información relativa a las estrategias y procedimientos que los niños emplean para resolver las situaciones de proporcionalidad.

11) Estudios centrados en el uso que se hace de los textos en las situaciones de enseñanza. Freeman y Porter (1989) describen diferentes estilos en el uso de los libros de texto de matemáticas por los profesores, en el nivel de enseñanza primaria, y examinan el solapamiento entre el contenido enseñado y el contenido que aparecía en los textos.

El trabajo aquí presentado se encuadraría dentro de aquellos que eligen un tópico y examinan las diferentes formas en que éste se presenta. La noción matemática elegida ha sido la idea de función, por su importancia conceptual en el currículo matemático 11­16.

 

Delimitando el marco conceptual

 

Desde el punto de vista de la cognición situada (Brown, Collins y Duguid, 1989) el conocimiento es producto tanto de la actividad y de la situación en la que se da (interacciones tarea‑alumno, entre los alumnos, profesor‑alumno) como de la cultura matemática escolar en la que se desarrolla y utiliza. Algunas de las características de las tareas, situaciones, etc utilizadas por los libros de texto son el propio contenido y las representaciones instruccionales. En este sentido podemos considerar dos puntos de vista: uno definido por el uso y características de la representación matemática utilizada; y otro que explicita diversas perspectivas para comprender el concepto función.

El análisis del papel desempeñado por diferentes representaciones, en el proceso de aprendizaje de distintos tópicos matemáticos, ha sido objeto de estudio de numerosos investigadores en el campo de la Educación Matemática. En estos momentos, una de las ideas que se defienden con mayor intensidad en dicho campo es que la traslación entre diferentes representaciones, y las transformaciones dentro de un mismo sistema, ayudan a que los alumnos adquieran una mayor comprensión de las nociones.

Por otra parte, las investigaciones centradas en la enseñanza y el aprendizaje del concepto de función ( Dubinsky y Harel, 1992; Sierpinska, 1992; Sfard, 1992) han caracterizado dos perspectivas para analizar lo que significa comprender la noción de función: la perspectiva proceso y la perspectiva objeto.

Para algunos autores (Moschkovich et al. 1993), llegar a comprender un dominio de contenido matemático complejo, como puede ser el definido por la noción de función, significa ser flexible en los procesos de resolución de tareas, en trasladarse entre diferentes sistemas de representación y diferentes perspectivas del concepto. Como consecuencia, una forma de determinar cómo el material contenido en los textos favorece una amplia comprensión del concepto es analizar la forma en que la presentación del contenido y el tipo de tareas/actividades propuestas refleja los diferentes aspectos de do que significa comprender un dominio complejo como el de las funciones (representaciones y perspectivas).

 

Propósito de nuestro estudio

 

Nuestro estudio analiza la forma en que el concepto función se introduce en diferentes libros de texto del nivel 11‑16. Es decir, cómo se desarrollan en ellos la noción de función y se promueve el aprendizaje de los estudiantes.

Esta línea de trabajo complementa las investigaciones cognitivas centradas en el análisis de las concepciones de los alumnos. La hipótesis que subyace en este tipo de trabajos es que el concepto imagen (Vinnery Dreyfus,1989), que poseen los estudiantes, está vinculado al tipo de tareas que realizan cuando están aprendiendo el concepto, y a las características de la actividad que estas tareas necesitan para su realización.

Las características de la secuencia instruccional seguida por los estudiantes, y en particular el tipo de tareas presentadas en los textos, determinan en parte el concepto imagen que se puede generar. Algunas de las características de las tareas, situaciones, etc., utilizadas en ellos son el propio contenido y las representaciones instruccionales.

En este contexto, este trabajo pretende examinar la forma en que la introducción del concepto matemático de función ha venido realizándose en algunos libros de textos correspondientes al nivel citado, considerando el modo de representación utilizado y los procesos de traslación entre los modos de representación implicados.

Como consecuencia, lo que se ha intentado es explicitar los rasgos característicos del significado atribuido al concepto matemático de función, desde el punto de vista curricular, proporcionados en dichos textos. Se ha adoptado una perspectiva temporal, examinando libros publicados desde 1975 hasta 1991.

Creemos que es necesario mantener las referencias temporales para situar claramente las características inferidas en cada grupo de textos analizado, desde las condiciones particulares que se daban en cada momento. En particular, en relación a las concepciones sobre las matemáticas escolares y el curriculum mantenidas en la fecha de publicación de los mismos.

 

Los libros de texto utilizados

 

Se han utilizado nueve editoriales no distribuidas de forma uniforme. Teniendo en cuenta que el objetivo no era establecer comparaciones, elegimos aquellos libros que tenían una difusión más amplia en la provincia de Sevilla en los años considerados. La tabla 1 recoge la distribución seguida en relación a niveles y años de publicación.

Dado que durante los últimos años se está observando un cambio en la enseñanza en general, y en particular en la Educación Matemática, que empieza a reflejarse en los libros de texto de 1° y 2° de BUP (14‑16 años), se decidió hacer dos bloques para estos niveles: El Bloque 1 abarcaría los años comprendidos entre 1975 y 1981, mientras que el Bloque 2 se situaba entre 1987 y 1991. La laguna que parece existir entre los dos bloques es debida a que en los años que se sitúan entre ellos se mantuvo la misma tónica del período anterior.

 

 

 

Tabla 1. Distribución temporal y por cursos de los tres bloques en los que se han agrupado los textos analizados

 

Año de   publicación

1974 1975 1976 1979 1981

1983 1984 1986 1987 1988

1990 1991

 

Curso/nivel

          7° (12‑13)

          8° (13‑14)

 

 

BLOQUE B

 

 

                  

1° (14‑15)

 

        2° (15‑16)

 

                   BLOQUE A

 

 

BLOQUE C

 

 

                  

 

                  

En cuanto a los libros revisados de 7° y 8° de EGB (12‑14 años), no observamos de una forma clara ninguna variación, por lo que se han metido todos dentro de un mismo bloque. Pensamos que esto es debido a que la reforma en el segundo ciclo de la Enseñanza General Básica se realizó en 1980. Por otro lado, debemos aclarar que la elección del período 1983‑1988 es debida a que los libros editados en estos años siguen, en su mayoría, vigentes en la actualidad.

 

Modo de análisis

 

La unidad de análisis considerada fue la tarea y actividades presentadas en el libro de texto. Adicionalmente, se recogieron las diferentes definiciones dadas en ellos al concepto de función.

Las tareas, actividades y ejercicios propuestos en dichos libros fueron analizados desde el punto de vista del tipo de representación utilizado y de la traslación que el proceso de resolución demandaba. E1 marco conceptual adoptado proporcionó las primeras referencias para la generación de nuestro sistema analítico de categorías. El mismo proceso de análisis permitió ir refinando el sistema inicial, para poder recoger todos los matices que iba generando el proceso. Desde esta perspectiva, podemos considerar que se ha seguido un proceso inductivo en la tarea de ir generando y modificando los apartados considerados inicialmente.

El trabajo de Janvier (1987) sobre diferentes formas de representar el concepto de función (objeto matemático) vinculado al análisis de la comprensión del concepto fue una referencia teórica utilizada. La tabla 2 recoge la propuesta inicial.

 

     Tabla 2. Modos de representación y procesos de traslación  en el análisis del concepto función (Janvier, 1987a)

 

PROCESO DE TRASLACIÓN

A

De

situación, descripción

verbal

tablas

gráficas

fórmula, expresión algebraica

situación

descripción verbal

 

 

 

 

 

Tablas

 

 

 

 

      

        gráficas

 

 

 

 

 

 

Fórmula, expresión algebraica

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

 

 

El proceso de traslación entre representaciones implica trasladar los significados adscritos a diferentes aspectos del concepto de función.

Concretando las dos perspectivas ya mencionadas en el marco conceptual:

‑ desde la perspectiva proceso, las funciones son vistas conectando los valores de x e y; para cada valor de x le corresponde un valor de y.

‑ desde la perspectiva objeto, las funciones, en cualquiera de sus representaciones, son contempladas de manera global, como un todo.

La generación, revisión y modificación del sistema de categorías, la omitimos por su extensión. En otro trabajo (García y Llinares, 1993) nos ocupamos del desarrollo de ese aspecto concreto. Aquí nos vamos a centrar en la discusión de los resultados del análisis.

 

Resultados

 

Los resultados del análisis han mostrado dos conceptualizaciones de la noción función, que determinan implícitamente un tipo de ejercicios /tareas /actividades diferentes, que los alumnos deben desarrollar, colocándose el énfasis sobre aspectos distintos.

Podemos destacar la traslación que se ha experimentado, en el período temporal considerado, en los planteamientos relativos al concepto de función. Inicialmente, los textos estudiados en el bloque A adoptaban una perspectiva "matemática", basada en la definición conjuntista de Dirichlet‑Bourbaki. Se utilizaban ideas como correspondencia, aplicación, dominio, imagen única, etc.

Posteriormente, en los textos analizados cuya fecha de publicación es más reciente (bloque C), el significado dado al concepto de función está vinculado a una relación entre cantidades de magnitud que varían. La idea de covariación de cantidades articula esta nueva presentación. La noción de función es vista como un modelo que matematiza determinadas situaciones en las que existe una relación entre la variación de las cantidades (covariación).

Los textos incluídos en el bloque B podríamos situarlos en un período de transición, en relación al significado dado al concepto de función y el tipo de tareas derivadas. Así, aunque se sigue manteniendo como idea organizadora y justificadora de las tareas propuestas el significado de función como objeto matemático, empiezan a introducirse toda una serie de tareas adicionales, ampliando la gama en relación a los modos de representación y traslación entre las representaciones.

Vinculada a estas conceptualizaciones de la noción de función se presentan los modos de representación utilizados y el tipo de tarea/actividad que se tienen que realizar.

De esta manera, los primeros textos analizados (bloque A), al adoptar un punto de vista apoyado en la idea conjuntista, después de una primera introducción con diagramas de flechas, utilizaban de forma mayoritaria la expresión algebraica como modo de representación, y la perspectiva proceso, en el sentido de llegar a identificar a las funciones con la cadena "entrada‑acción‑salida". La definición del concepto función se presenta al principio incluso utilizando ejemplos con conjuntos discretos, para introducir directamente las expresiones algebraicas de las funciones prototípicas, correspondientes a cada nivel.

Es con la perspectiva proceso del concepto función, y desde la expresión algebraica, como se introduce su gráfica. De manera implícita, los textos podían transmitir la idea de que las funciones eran las expresiones algebraicas (la fórmula) y las gráficas era algo que se derivaba de ellas, aunque en un momento inicial adoptaran una perspectiva más general del concepto, puesto de manifiesto por la definición conjuntista.

En este sentido, el énfasis estaba colocado en la forma algebraica de la regla de correspondencia, que asignaba a cada elemento del dominio una sola imagen en el rango. De aquí se deduce un significado implícito al concepto función, el cual identifica la función con la regla, y como consecuencia el propio curriculum podría estar transmitiendo la idea de que las gráficas sin expresión algebraica no eran funciones. En los textos de este bloque A, la definición matemática de función (objeto matemático) organizaba, de esta manera, la secuencia de desarrollo del curriculum.

En los libros de texto analizados en el bloque C se empieza a identificar la introducción de un nuevo significado para el concepto función. A1 subrayar la idea de covariación y de relaciones funcionales, la noción de función está vinculada a la matematización de la relación entre cantidades de magnitud que varían.

Este nuevo significado tiene implicaciones en los modos de representación utilizados, y el tipo de tarea/actividad que se suele realizar.

Los modos de representación utilizados para la introducción son:

‑ la descripción verbal de situaciones y

‑ la utilización de gráficas para describir la relación de dependencia entre la variación de cantidades de dos magnitudes.

Este hecho viene subrayado por el énfasis en las tareas de interpretación de gráficas en contextos determinados. Este tipo de tareas enfatiza el papel desempeñado por las gráficas para mostrar características de la situación matematizada, que una aproximación origen‑imagen hace difícil detectar (el "comportamiento" de la relación en un intervalo del dominio o en el dominio entero).

En estas condiciones, podemos suponer, que el concepto de función adopta inicialmente unaperspectiva objeto, en este tipo de tareas, en el sentido de que se genera una imagen global que permite el análisis de algunas características de la función (crecimiento, decrecimiento, simetría, paridad de la función, pendiente, etc). Con este planteamiento inicial (la función como una matematización de una situación) no es necesario que exista una expresión algebraica.

De una manera esquemática, la traslación en el énfasis en el tipo de actividades / tareas que se detecta en estos libros de texto se pone de manifiesto en la Figura 1.

En esta figura se recoge de manera esquemática la traslación en la conceptualización de la noción función que se manifiesta en el tipo de ejercicios/tareas que dan forma al desarrollo del curriculum. En este esquema, las flechas más oscuras indican la conceptualización del concepto función que articula y determina las tareas/ejercicios propuestos.

 

FALTA GRÁFICA

 

Figura 1. Tipo de tareas enfatizadas en diferentes momentos

 

Mientras en los bloques A y B es el objeto matemático función (desde una perspectiva conjuntista) el que articula y justifica las tareas (más claramente en el bloque A), es en el bloque C donde la conceptualización que justifica el desarrollo del curriculum adoptado, se traslada hacia la idea de matematización de situaciones en las que existe una covariación; es decir, la descripción de relaciones funcionales en una situación. Al organizar la información alrededor de esta idea, se centra la atención en tareas de traslación entre los modos de representación (situación, expresión gráfica y, en algunos casos, expresión algebraica).

 

Algunas inferencias extraídas del estudio

 

Dos inferencias podemos realizar desde este análisis: una centrada en el campo de las investigaciones sobre las concepciones de los alumnos de secundaria del concepto función, y la segunda en el campo del desarrollo del curriculum.

En relación a la primera, es importante considerar la gran influencia que puede llegar a tener el tipo de tareas que los alumnos tienen que hacer (desarrollo del curriculum) cuando están aprendiendo determinados conceptos, en el "significado" que atribuyen a los mismos (Higueras, M.L. et al 1993). Asociado a este aspecto, no hay que olvidar todo lo concerniente a las creencias generadas por el tipo de actividad vinculada a las tareas, y la forma en que se presenta el contenido.

Con respecto al campo del desarrollo del curriculum, podríamos indicar que el énfasis en ejercicios basados en diferentes traslaciones entre representaciones no es sinónimo de una mayor comprensión, como señala el trabajo de Moschkovich antes mencionado.

Desde esta perspectiva, el énfasis puesto de manifiesto por el tipo de tareas propuestas no debería estar colocado sólo en el instrumento (traslación en el modo de representación y la perspectiva adoptada), sino en la utilización de estos "recursos" en los procesos de resolución de problemas. Las representaciones y traslaciones deben ser consideradas como algo desde lo que construir los procesos de resolución de las tareas, para llegar a comprender diferentes aspectos del tópico matemático, más que ser el contenido a ser aprendido per se.

El uso de varias representaciones, y el desarrollo de conexiones entre ellas, en los procesos de resolución de situaciones problemáticas que presenten relaciones funcionales, debería considerarse el foco de atención.

En estos momentos, el desafío en el desarrollo del curriculum está precisamente en encontrar, y articular en unidades didácticas, aquellas situaciones problemáticas dirigidas a este fin. El ideal a conseguir sería encontrar esas situaciones (tareas) cuyo proceso de resolución (utilizando como herramientas los diferentes modos de representación y sus traslaciones y el cambio de perspectiva) permitiera la adquisición del conocimiento (comprensión).

En este sentido, el trabajo iniciado desde hace algún tiempo, tanto a nivel internacional

(SCME,1990), como nacional por diversos grupos de profesores, diseñando y probando nuevos materiales curriculares centrados en estas ideas señalan un camino abierto en la innovación educativa.

Actualmente, en el diseño y elaboración de materiales curriculares se empieza a

incrementar el tipo de tareas cuyo proceso de resolución exige que el alumno pueda/ deba apoyarse en diferentes perspectivas y transformaciones entre los modos de representación. Esto puede ser necesario para complementar los cambios realizados hasta ahora, llegándose a considerar como un "instrumento" (herramientas en el proceso de resolución de problemas) lo que hasta estos momentos se toma como "contenido".

El papel desempeñado por los textos como mediadores en el desarrollo del

curriculum, la articulación de la enseñanza, y el propio proceso de aprendizaje, exige incorporar paulatinamente en su elaboración el nuevo conocimiento que se va generando en el campo de la Educación Matemática.

 

Referencias

 

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