TUTORIAL DE DERIVE

 

Manuel Castelló

En este trabajo vamos a presentar un tutorial para el asistente matemático DERIVE en su versión 4.06 en castellano para DOS (en general es válido para cualquier versión 4.0x). Se irá desarrollando siguiendo el estudio de las ecuaciones cinemáticas del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). La introducción de una herramienta matemática de estas características es sumamente útil en un tema de cinemática en el que la resolución de ecuaciones y la construcción de gráficas son una parte importante del mismo. El programa DERIVE es sencillo y potente, pudiéndose ejecutar en casi cualquier ordenador ya que sus exigencias en cuanto a las prestaciones del mismo son mínimas. No es necesario ningún conocimiento previo del programa ya que el desarrollo guiado del tutorial será lo más detallado posible, de forma que permita mostrar su manejo tomando como base el estudio de la cinemática elemental; de ésta sí se da por sentado que el lector posee una formación mínima (conocimiento de las ecuaciones, significado de las magnitudes empleadas, el sistema internacional de unidades, etc.). Así, el lector dispondrá de unos instrumentos efectivos que le permitirán profundizar en lo aprendido y explorar por su cuenta nuevas posibilidades.

PRIMER CONTACTO CON DERIVE

Para ejecutar el programa escribiremos DERIVE desde el indicador del sistema operativo (suponiendo que ya estamos en el directorio del disco duro donde se encuentran los archivos que lo componen), seguido de ENTER. También puede ejecutarse desde una ventana DOS de Windows, haciendo doble clic sobre el icono del programa. En primer lugar, aparecerá una pantalla que indica la versión y el copyright pero desaparecerá en cuanto se realice alguna acción. La pantalla está dividida en dos zonas separadas por una línea doble continua: la pantalla de trabajo, donde se muestran todas las expresiones introducidas, y el menú principal, formado por dos líneas de comandos, en la parte inferior. Este menú principal tiene el siguiente contenido:

 


 

editAr  elaBorar Cálculo  Definir  Expandir  Factorizar Ir-a resoLver Manipula ventaNa

Opciones rePresen boRrar  Simplifi Transfer  recUpera moVer  aproXima aYuda finaliZ


Para ejecutar cualquiera de estos comandos podemos seguir dos caminos: trasladar el cursor de uno a otro consecutivamente mediante la barra de espacio y pulsar ENTER cuando el cursor se encuentre sobre el comando que deseemos ejecutar, o bien pulsar simplemente la letra que se encuentra en mayúscula en el nombre del comando. Inicialmente, el cursor siempre se encuentra resaltando la opción editAr por lo que pulsando la letra 'a' (es indiferente que se encuentre en mayúscula o minúscula en el momento de pulsarla) o ENTER po­dremos introducir una expresión matemática, ya que ésta es la función del citado comando. En otras ocasio­nes, después de haber hecho esta selección de un comando, aparecerá un submenú que sustituye al anterior. A la izquierda, en mayúsculas, se mostrará el nombre de éste para identificar un submenú del menú principal. Dentro de este submenú, operaremos de la misma forma que se acaba de explicar para ejecutar cualquiera de las comandos que tenga. Veámoslo con un ejemplo que nos será de utilidad a lo largo del presente trabajo: al pulsar Opciones (desplazándonos con la barra de espacio hasta dicha opción y presionando ENTER o bien pulsando directamente la letra 'o') aparecerá el siguiente submenú:

 


OPCIONES:  Base Color  Ejecutar-dos  Introducción  Notación  productO Precisión

 

                        Silencio Vídeo


 

 

Para ejecutar el comando Introducción podemos seguir cualquiera de las dos alternativas descri­tas.

En algunas ocasiones, aparecerá un submenú compuesto, con partes separadas unas de otras (dos o más zonas diferenciadas). Si se ha seguido el proceso del ejemplo (Opciones Introducción) habrá aparecido el submenú siguiente:


OPCIONES INTRODUCCIÓN: Modo: Character  Word     Mayúsculas: Insensitive Sensitive

 

     Uso: LineEdit   Subexpression


 

 

Aparecerán unos paréntesis (no reseñados aquí) en las opciones seleccionadas en ese momento. En el apartado Modo, tenemos 2 opciones Character y Word; para seleccionar una de ellas, pulsaremos la barra de espacio, con lo que veremos cómo el cursor "salta" de una op­ción a otra alternativamente. Una vez esté resaltando la opción deseada, pulsaremos la tecla del ta­bulador (situada a la izquierda de la letra Q del teclado) para situarnos en la otra zona del submenú (en este ejemplo, en la zona Mayúsculas); podremos ver cómo la opción elegida del apartado Modo ha quedado entre paréntesis. Para escoger las opciones del apartado Mayúsculas, seguiremos la misma técnica. De análoga forma procederemos en el apartado Uso. Cuando en todos los apartados se encuentren resaltadas mediante paréntesis las opciones que queramos mantener, pulsando ENTER saldremos de este submenú, retornando al menú principal. En este caso, elegiremos Word, Sensitive y LineEdit (en la pantalla de trabajo aparecerán definidas estas opciones en la forma InputMode:=Word, etc.). Con esto tenemos preparado el programa para el modo de introducción de los datos; como haremos uso de algunos símbolos que constan de más de un carácter ('eo' para espacio inicial, 'Vo' para velocidad inicial, etc.), el modo de en­trada de datos deberá ser Word, con lo que se admiten variables de más de un carácter. La opción Sensitive del apartado Mayúsculas hace que el programa diferencie las variables que tienen caracteres en minúscula de las que tienen los mismos pero en mayúscula (no será lo mismo 'v' que 'V', o 'to' que 'To', por ejemplo); de esta manera, nos obligamos a mantener siempre el mismo símbolo para identificarlas y no expresar las fórmulas de manera ambigua. Por último, LineEdit permite utilizar las teclas del cursor para desplazarse por la línea de edición (donde se introducen las fórmulas) y hacer las modificaciones oportunas.

Para que esta configuración quede grabada y no sea necesario volver a ejecutar estos pasos cada vez que carguemos el programa, habrá que indicar a DERIVE que la adopte por defecto guardándolo en su archivo de configuración. Para ello, seguiremos los siguientes pa­sos: Transfer,Salvar, eStado, ENTER. Si nos pide confirmación para escribir encima del fichero existente (porque ya habrá en el directorio un archivo de configuración con ese nombre), pulsaremos Y para que lo haga. De esta manera, en dicho archivo (DERIVE.INI) se habrá grabado el estado de las opciones que utilizaremos en este trabajo. También podemos grabar todas las expresiones que se encuentren en la ventana de ecuaciones para poder seguir trabajando con ellas en otra sesión o dárselas a otra persona. Los pasos serían parecidos a los anteriores: Transfer, Salvar, Derive,nombre que queremos para el fichero en disco y ENTER. Cuando vayamos a trabajar con esas expresiones, las recuperaremos con la misma secuencia, pero ejecutando el comando Leer en lugar de Salvar: Transfer, Leer, Derive, nombre del fichero y ENTER. En lugar de introducir el nombre del fichero, podemos pulsar F1 (como nos indica la línea de estado) para ver una lista de los ficheros que hay en el mismo directorio que DERIVE; podemos seleccionar así, con las teclas del cursor, el que queramos cargar, y pulsamos ENTER a continuación.

Para volver al menú anterior, desde el submenú en el que nos encontremos, sin ejecutar ninguna acción de éste, sólo hay que pulsar `Esc'. Desde el menú principal, esta tecla ya no realiza ninguna función.

Las funciones de cada uno de los comandos que vayamos necesitando se irán describiendo a medida que vayan surgiendo en el desarrollo de los temas que vamos a estudiar.

El programa dispone de una sencilla ayuda en pantalla a la que se accede con el comando aYuda, desde el menú principal.

Para abandonar el programa en cualquier momento, se utiliza el comando finaliZ. Se nos pedirá confirmación, de manera que pulsando Y (yes) volveremos al sistema ope­rativo, y pulsando N (no) continuaremos en DERIVE.

MOVIMIENTO  RECTILÍNEO UNIFORME

Nuestro objetivo, en este apartado, es llevar a cabo un estudio del movimiento uniforme. Haremos cálculos numéricos, resolveremos ecuaciones y sis­temas de ecuaciones, representaremos gráficas, etc. Asimismo, intentaremos ver contrastadas nuestras hipótesis sobre los problemas planteados, con los resultados que nos proporcione el programa. Es muy recomendable que, una vez trabajados los ejercicios aquí descritos, se practique con otros para asimilar las técnicas operativas del programa; sería sumamente interesante resolver con el ordenador problemas que se hayan resuelto previamente a mano, y requieran construir gráficas o resolver ecuaciones.

Quizás sea pertinente comentar que estos procedimientos iniciales podrán parecer muy sencillos, y que resultaría más práctico hacerlos a mano o con una calculadora; no olvidemos que estos primeros ejemplos que vamos a tratar comportan una mecánica que es perfectamente aplicable a la resolución de ecuaciones mucho más complejas, por lo que una vez entendido el procedimiento a seguir habremos adquirido las destrezas necesarias para hacer frente a otros problemas de mayor envergadura con sólo cambiar las ecuaciones a emplear. Es decir, si se asimila correctamente la técnica de resolución con DERIVE siguiendo esta introducción elemental que viene a continuación, podremos abordar un gran número de problemas, incluso no sólo de cinemática sino de otros muchos campos de la Física. Lo importante ahora es, pues, aprender el manejo de las potentes herramientas de DERIVE.

Comenzaremos introduciendo la ecuación del movimiento uniforme pulsando ENTER cuando se encuentre resaltada la opción editAr. Ésta será una operación que realizaremos cada vez que queramos introducir una expresión en el programa.

e = eo + V (t - to)

Una vez escrita, volveremos a pulsar ENTER, y veremos cómo la fórmula salta desde la línea de edición hasta la pantalla principal. Nótese que no es necesario escribir el signo de multiplicar después de la V: DERIVE lo incluye automáticamente, de forma que el proceso de escribir la ecuación sea lo más análogo posible a hacerlo con lápiz y papel. Con el fin de mejorar la presentación no utilizaremos el cero en los subíndices sino la letra 'o' minúscula. Es imprescindible que hayamos activado las opciones Word y Sensitive del menú OPCIONESINTRODUCCIÓN, tal como se ha descrito con detalle en el apartado anterior; de no haberlo hecho así, las variables con 2 o más caracteres serían tratadas como varias variables de 1 carácter, haciendo imposible el trabajo con las ecuaciones como viene a continuación.

CÁLCULO NUMÉRICO

Como primer ejercicio, haremos una simple sustitución de valores numéricos para determinar la posición respecto al origen. Tomaremos eo = 0, V = 5 m/s, t = 7 s y to = 2 s. Todos los valores que empleemos a partir de ahora se encontrarán siempre en el Sistema Internacional de Unidades, por lo que omitiremos sus unidades. Para llevar a cabo dicha sustitución, estando resaltada la ecuación del movimiento uniforme, ejecutaremos ManipulaSustituir y, cuando nos pida la expresión, simplemente pulsaremos ENTER ya que siempre toma por defecto el número de la expresión resaltada. En el caso de que no hubiéramos resaltado la ecuación que nos interesa, podríamos hacerlo ahora con las flechas del cursor, subiendo o bajando por la pantalla de trabajo con ellas. A continuación, el programa nos irá pidiendo los valores numéricos para cada variable. Introduciremos su valor, excepto en 'e' ya que es el valor que queremos calcular, pulsando ENTER después de cada uno. Si alguna variable tiene más caracteres que el número correspondiente a su valor, tendremos que borrar los caracteres sobrantes con la tecla `Supr'; así, por ejemplo, al introducir el valor 0 de `eo', tendremos que pulsarla después de introducir dicho valor y antes de pulsar ENTER, de lo contrario se almacenaría en la variable `eo' el valor `0o', carente de sentido. Nótese que las variables de la ecuación siempre aparecen en orden ASCII, es decir, primero las mayúsculas en orden alfabético, y luego las minúsculas en el mismo orden (V, e, eo, t, to).  Si al llegar a la última (to) pulsamos Ctrl + ENTER, en lugar de ENTER sólo, la expresión final vendrá dada ya en forma simplificada; con la pulsación de ENTER, DERIVE sólo sustituye los valores por las variables sin hacer ningún cálculo. Esto es conveniente, en la mayoría de los casos, para tener la expresión en forma literal y debajo de ella la expresión con los valores numéricos correspondientes a cada variable.

                                             1:    e = eo + V (t - to)

                                             2:    e =  0 + 5 · (7 - 2)

                                             3:    e = 25

La expresión 2 se ha obtenido pulsando ENTER al terminar de dar valores, y, eje­cutan­do Simplifi,DERIVE nos proporciona la solución en la expresión 3. A este mismo valor se habría llegado, sin pasar por la expresión 2, pulsando Crtl + ENTER, como se ha dicho antes. El resultado es, por tanto, de 25 metros.

La numeración de las expresiones puede ser distinta a la aquí mostrada si ya tenemos otras anteriores en la pantalla de trabajo. Más adelante describiremos la forma de borrarlas. Hemos prescindido del carácter almohadilla (#) para simplificar la numeración, aunque el programa lo presenta siempre.

RESOLUCIÓN  DE ECUACIONES  ANALÍTICAMENTE

Pero DERIVE no sólo realiza operaciones numéricas, que están al alcance de cual­quier calculadora científica, sino que permite realizar asimismo operaciones simbólicas. Para ver un ejemplo de ello, despejaremos 't' de la expresión 1. Primero, subimos con el cursor hasta dicha ex­presión (o pulsamos la tecla Inicio por tratarse de la primera) para resaltarla; después, pulsamos resoLver para indicar que queremos despejar una variable de la ecuación; pulsamos ENTER, ya que la expresión que toma por defecto es la resaltada (por eso nos hemos desplazado antes hasta ella; de no haberlo hecho así, tendríamos que escribir ahora el número de la ex­presión en la que queremos realizar la operación o movernos hasta ella con las teclas del cursor); y, por último, nos pide la variable a despejar (por defecto propone la primera se­gún el orden ASCII antes comentado, la 'V'), introducimos la 't' y pulsamos ENTER. Apare­cerá la expresión 4.

                                             1:    e = eo + V (t - to)

                                             2:    e =  0 + 5 (7 - 2)

                                             3:    e = 25

                                             4:   

Para que adopte una forma más común a la utilizada en los libros de texto, pode­mos de­cirle a DERIVE que expanda la expresión 4 respecto de la variable 'V': Expandir seguido ENTER (si está la expresión resaltada), luego escribimos la variable V y ENTER 2 veces (la segunda vez sirve para indicar que no deseamos ex­pandir por más variables). Al expandir una expresión respecto de una variable, el programa maximiza el núme­ro de términos en los que aparece dicha variable a la vez que sim­plifica los expo­nentes de la misma. El resultado lo podemos ver en la expresión 5.

 

                                             1:    e = eo + V (t - to)

                                             2:    e =  0 + 5 (7 - 2)

                                             3:    e = 25

                                             4:   

                                             5:   

                                             6:   

 

La expresión 6 se ha obtenido expandiendo la 4 respecto de 'to'. Puede probar a hacerlo el lector.

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Una aplicación sumamente útil de DERIVE se halla en su capacidad para hacer representaciones gráficas; la flexibilidad con que podemos crear gráficos a partir de ecuaciones es enorme. Para ilustrar esta faceta vamos a comenzar trazando la gráfica e - t de este movimiento que estamos estudiando. Para ello, utilizaremos la expresión 1, dando los valores a 'V', 'eo' y 'to' antes indicados, de­jando sin definir, por lo que quedará como variable independiente, la varia­ble 't'. Empleando ManipulaSustituir, introducimos 5 para 'V', 0 para 'eo', 7 para 't' y 2 para 'to'; pulsamos ENTER simplemente cuando nos pida los valores de 'e' y 't'. Si hemos pulsado Ctrl + ENTER al introducir el valor de 'to' nos aparecerá (si sólo hemos pulsado ENTER, deberemos emplear el comando Simplifi)

                                             7:    e = 5 · ( t - 2 )

Con esta expresión resaltada, pulsamos rePresen para entrar en el menú de gráficos. En pri­mer lugar, nos solicitará dónde queremos ubicar la gráfica:

REPRESENTAR:  Encima Al_lado  Debajo

La primera opción, Encima, hace que la ventana gráfica ocupe toda la pantalla; la segunda opción, Al_lado,  sitúa la gráfica a la derecha de la pantalla de fórmulas, creando una ventana para gráficos; y la tercera opción, divide la pantalla horizontalmente, situando la ventana de gráficos de­bajo de la ventana de fórmulas. Si elegimos alguna de las dos últimas nos pedirá la columna o la fila de separación para establecer la división de la pantalla. Los valores que propone el programa corresponden a la mitad de ésta, pero podemos variarlos a nuestro gusto; en este caso, sería recomendable elegir la segunda opción estableciendo la división en la columna 30. Una vez seleccionada, pulsamos ENTER. Aparecerá una ventana gráfica con las características (tamaño y situación) que se acaban de definir, en la que sólo se verán los ejes de coordenadas y un pequeño cursor en forma de cruz. Para representar la gráfica, seleccionaremos la opción rePresentar, y la pantalla adoptará la apariencia de la Gráfica 1.

Es posible que tengamos que ejecutar el comando OpcionesVídeo para indicar a DERIVE las características de nuestro monitor y tarjeta de vídeo, en el caso de que la gráfica no tenga un aspecto bien definido. Si disponemos de un monitor VGA podemos seleccionar las siguientes opciones en dicho submenú:

Mode:  Text (Graphics)   Resolución: Medium (High)  Texto: (Large) Small

Juego: Std (Extended) Monitor: MDA CGA EGA MCG(VGA) Herc AT&T T310 95LX PCjr Othe

Podemos probar las diferentes opciones para ver cómo afectan a la presentación en pan­talla, en particular, el subapartado Texto nos permite variar entre dos tipos de resolución: con Small obtendríamos una excelente resolución para las gráficas a costa de hacer muy pequeños los caracteres de las expresiones. Es cuestión de experimentar.

Los ejes siguen las convenciones usuales, por lo que en las abscisas se encuentra repre­sentada la variable independiente (la 't', ya que está en el segundo miembro de la ecuación); y en ordenadas, la dependiente (la 'e', ya que está en el primer miembro). Las marcas de los ejes adoptan los valo­res de los incrementos indicados en la línea de estado (Scale x:1  y:1). Eso significa que la primera marca del eje de abscisas corresponderá al valor X = 1, la segunda al X = 2 (donde corta la recta de nuestro ejemplo), etc., tal como puede verse en la propia gráfica. Análogamente sucede­rá en el eje de ordenadas. Estos valores para las marcas de los ejes pueden cambiarse como en seguida veremos. También podemos cambiar las etiquetas de los ejes, algo muy conveniente para las representaciones de magnitudes físicas. Simplemente, en el submenú Ejes indicamos sus nombres en el apartado Horizontal y Vertical, respectivamente. En nuestro caso, podría quedar como se indica a continuación:

 

EJES: Visualizar: Yes No     Horizontal: t(s)                       Vertical: e(m)

            Números: Yes No      Filas: 4                        Columnas: 8

En Visualizar y en Números dejaremos Yes para que se vean los valores numéricos de las divisiones de los ejes de coordenadas.

Podemos realizar un zoom de la gráfica para acercarnos o alejarnos de ella, lo cual equivale a cambiar los valores de los incrementos de las marcas de los ejes. Esto hace que po­damos observar partes de la gráfica que, en principio, no aparecen. En este caso, por tratarse de una recta, no habrá singularidades dignas de resaltar, pero en otras líneas que ya veremos, esta opción es muy interesante. Las teclas de función que nos permiten llevar a cabo estos cambios de escala son:

F7            F8           mays + F7            mays + F8            F9             F10

Dejamos que el lector experimente con ellas para deducir los cambios que realizan sobre la gráfica. Observando el nuevo trazado y la línea de estado  Scale  x: ... y: ...  o los números de las divisiones de los ejes no tendrá nin­guna dificultad en interpretar las acciones de zoom que efectúan cada una de ellas.

Cuando existen 2 ventanas en pantalla, como sucede en este momento, podemos pasar de una a otra pulsando la tecla de función F1. El número situado en la esquina superior iz­quierda de la ventana seleccionada aparece resaltado; además, la línea de menús cambia, ya que depende de si nos encontramos en una ventana de gráficos o de expresiones.

Si se desea cerrar la ventana de gráficos para trabajar más cómodamente con el siguiente apartado, utilizaremos  el comando ventaNa Cerrar, introducimos el número 2 (ya que éste es el número de dicha ventana) y pulsamos ENTER. Podremos ver cómo desaparece inmediatamente la ventana gráfica de la pantalla.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Veamos a continuación cómo podemos resolver un problema de persecución en el que intervienen 2 móviles que se desplazan con movimiento uniforme. Lo resolve­remos de forma analítica, y partiremos de la base de que ya se ha realizado una discusión cualitativa del problema, estableciendo claramente las condiciones y simplificaciones oportunas, y de que se hayan formulado diversas hipótesis sobre las relaciones entre las variables implicadas. Así, por ejemplo, se pueden haber propuesto hipótesis tales como que cuanto mayor sea la distancia inicial entre el perseguido y el perseguidor mayor será el tiempo que tarde éste en alcanzar a aquél, o que a menor diferencia entre sus velocidades mayor será dicho tiempo, etc. Todas ellas se verán contrastadas con los resultados que obtengamos en la resolución con DERIVE.

Antes de continuar es conveniente borrar las expresiones que no vayamos a utilizar para no complicar innecesariamente el área de trabajo. Utilizando el comando boRrar borraremos desde la expresión 2 hasta la 7. Después de pulsar R, pedirá el número de la primera que queremos borrar (Inicio) y el número de la última (Fin). Pulsamos 2, la tecla de tabulación (para saltar al siguiente campo, en este caso el número de la última expresión), el 7 (que posiblemente ya esté puesto si teníamos resaltada dicha expresión en el momento de eje­cutar el comando de borrar) y ENTER. Podremos ver cómo desaparecen todas las expresiones excepto la primera. También podemos seleccionar el número de la primera o última expresión a borrar desplazándonos con las flechas del cursor, lo cual resulta muy útil si hay muchos y la primera está fuera de la pantalla de trabajo, impidiéndonos saber cuál es su número. Además, pulsando Ctrl + Inicio o Ctrl + Fin, iremos directamente a la primera o la última, respectivamente, de las expresiones de la pantalla de trabajo.

Ahora ya estamos en condiciones de abordar el problema propuesto. Comenzare­mos por introducir la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme para el segundo móvil, de la forma como ya sa­bemos, con lo que la pantalla tendrá las dos ecuaciones siguientes:

                                             1:    e = eo + V·(t - to)

                                             2:    e1 = eo1 +  V1·(t - to1)

Los símbolos son los normalmente empleados, por lo que no necesitan más comen­tarios; no obstante, es muy conveniente repasarlos uno por uno y explicitar con detalle su significado.

La discusión que se haya mantenido previamente sobre la estrategia a seguir nos habrá conducido a que en el momento en que el perseguidor dé alcance al perseguido, sus posicio­nes, en términos de distancias al origen de coordenadas, deben ser las mismas para ambos, es decir, cuando e = e1. Introduciremos, pues, está última expresión, quedando:

                                             1:    e = eo + V·(t - to)

                                             2:    e1 = eo1 +  V1·(t - to1)

                                             3:    e = e1

Tenemos ya el sistema de ecuaciones cuya resolución nos permitirá obtener 'e', 'e1' y 't', es decir, las posiciones de ambos móviles en el momento del encuentro, y el mo­mento en que se producirá éste. Para resolverlo, hemos de colo­car las 3 ecuaciones en formato vectorial; este formato lo utiliza DERIVE para reco­nocer las ecuaciones que forman el sistema. En esta disposición, las expresiones van en­cerradas entre corchetes y sepa­radas unas de otras por comas:   [expresión 1, expresión 2, expresión 3, ... ]

En nuestro ejemplo, en la línea de edición deberíamos introducir las ecuaciones en la si­guiente forma:

[ e = eo + V·(t - to)  , e1 = eo1 +  V1·(t - to1) , e = e1 ]

Los espacios en blanco son innecesarios y se han puesto aquí para mayor claridad; podía ha­berse escrito la línea anterior sin introducir ni uno solo.

Ahora bien, cabe preguntarse si es necesario volver a introducir las ecuaciones que ya están en la pantalla de trabajo. La respuesta es que no. Si escribimos en la línea de edi­ción:

[#1 , #2 , #3]

cuando pulsemos ENTER después de haber escrito el último corchete, veremos cómo aparece en la pantalla de trabajo el vector con las ecuaciones en la forma escrita antes. Es decir, la nu­meración que tienen en la pantalla sirve para hacer referencia a las expresiones ya escritas con sólo preceder su número con una almohadilla. Teniendo esto en cuenta, se ahorra el trabajo de teclear muchas expresiones ya escritas. Nuestra pantalla de tra­bajo tendrá el siguiente aspecto:

                          1:    e = eo + V·(t - to)

                          2:    e1 = eo1 +  V1·(t - to1)

                          3:    e = e1

                          4:    [e = eo + V·(t - to)  , e1 =  eo1 + V1·(t - to1) , e = e1]

Vamos a resolver ya el sistema de ecuaciones. Para ello ejecutamos el comando resoLver. Después de pulsar la tecla L,DERIVE nos pedirá el número de la expresión a re­solver. Si es­taba resaltada pone por defecto la cifra de dicha expresión por lo que sólo habrá que pulsar ENTER. A continuación, irá pidiendo las variables que actúan como incógnitas del sis­tema. El programa va proponiendo variables en el orden ASCII ya explicado. La primera será la 'V'; escribiremos 'e', pulsamos ENTER, se­guimos con 'e1', ENTER y 't', ENTER. Posiblemente habrá que borrar algún carácter de las variables propuestas por el pro­grama antes de pulsar ENTER. Si el sistema de ecua­ciones hubiera tenido 3 variables y todo lo demás fueran números, el programa identifi­caría automáticamente dichas variables como las incógnitas y no solicitaría la introduc­ción de éstas como aquí sucede al existir más variables que ecuaciones.

El resultado aparecerá también en forma vectorial. Al no haber introducido nin­guna de las simplificaciones tratadas en la discusión previa al trabajo con DERIVE (tales como que el espacio inicial fuera cero, etc), dicho resultado ofrecerá cierta complejidad por lo que vamos a introducirlas ahora: los tiempos iniciales son 0 (to = to1 = 0) y el primer móvil se encuentra inicialmente en el origen de coordenadas (eo = 0). Utilizando ManipulaSustituir como ya sabemos, y terminando con Ctrl + ENTER (o pul­sando ENTER y ejecutando después el comando Simplifi), llega­remos a:

6:  

El valor 6 con el que DERIVE numera esta última expresión de la pantalla de trabajo dependerá de los pasos que hayamos seguido para llegar hasta ella (en este caso, hemos pul­sado Ctrl + ENTER para terminar las simplificaciones con ManipulaSustituir). Si realiza­mos otro tipo de operaciones, dicha numeración puede cambiar respecto de la aquí expuesta. Si hay alguna expresión que queramos eliminar de la pantalla, ya sabemos cómo hacerlo mediante el comando boRrar; puede que queden ``huecos" en la numeración correspondientes a las expresiones borradas. Para que la numeración vuelva a ser consecutiva, podemos ejecutar ManipulaRenumerar.

Se comprueba fácilmente en el vector resultado que los valores 'e' y 'e1' son idénticos, ya que era una de las condi­ciones del sistema de ecuaciones. Asimismo, las hipótesis iniciales pueden verse contrastadas ahora: cuanto mayor sea la distancia inicial entre el perseguido y el perse­guidor ('eo1', según nuestras simplificaciones, ya que hemos considerado que 'eo' era igual a cero) mayor será el tiempo que tarde éste en al­canzar a aquél ; y que a me­nor diferencia entre sus velocidades (V - V1), mayor será dicho tiempo. ¿Qué sucedería si V = V1, es decir, si la velocidad del perseguidor fuera igual a la del perseguido?

Podríamos hacer ahora una aplicación numérica del resultado analítico, pero, ya que no ofrece ninguna dificultad, si se han seguido y entendido los pasos hasta este punto, lo dejamos para que el lector practique con los valores que desee.

Ya que el número de expresiones va en aumento, sería muy conveniente poder ``etiquetarlas" de alguna manera, indicando su nombre o la función que desempeñan. Podemos hacerlo de dos formas. Vamos a verlo.

Para introducir un texto en la pantalla de trabajo (hasta ahora han sido siempre ecuaciones matemáticas) hay que hacerlo entrecomillado. Desde el menú principal, pulsamos ENTER (o sea editAr), escribimos ``Ecuación de la posición del primer móvil:" (no es necesario cerrar las comillas al final del texto) y pulsamos ENTER. En la pantalla de trabajo aparecerá:

7: ``Ecuación de la posición del primer móvil:"

 Obviamente esta no es la ubicación más adecuada para esta etiqueta, sino antes de la ecuación que está describiendo (la número 1). Habrá que moverla antes de la expresión #1 mediante el comando moVer. Una vez ejecutado, nos pedirá adónde la queremos mover. La línea de edición debería de tener el siguiente aspecto antes de pulsar ENTER:

MOVER: Antes de:  1                       Inicio: 7           Fin: 7

El apartado Inicio corresponde al número de la primera expresión que deseamos mover, y el apartado Fin corresponde al de la última. De esta forma, podemos trasladar fácilmente bloques de expresiones de un sitio a otro. Una vez pulsado ENTER, veremos como el texto ``salta" a la primera posición. El comando Manipula Renumerar será muy útil con estas manipulaciones, ya que la expresión movida conserva su numeración antigua, es decir, no se actualiza automáticamente. Como práctica, y antes de continuar, dejaremos que el lector llegue a la pantalla que se muestra en la Gráfica 2.

La otra forma de etiquetar las expresiones es mediante el comando ManipulaAnotación. Con él podemos introducir una etiqueta que aparecerá en la línea de estado (la más inferior de la pantalla) cuando resaltemos la expresión al pasar por ella con las teclas del cursor. De esta forma, el texto no ocupa lugar en la pantalla de trabajo y las anotaciones o comentarios sólo estarán visibles en el momento de resaltar la expresión. Si no se introduce ninguna anotación, DERIVE va escribiendo algunas anotaciones que indican muy brevemente la forma en como se ha obtenido la expresión. Así, por ejemplo, tenemos: User, si ha sido tecleada por el usuario; Simp(#8), si procede de simplificar la expresión 8; Solve(#5), si se ha obtenido al resolver la expresión 5, etc. Dejamos que el lector pruebe y experimente con esta herramienta sin añadir más explicaciones, introduciendo las anotaciones que considere oportunas para las ecuaciones anteriores.

Usar una forma u otra de etiquetar las expresiones sólo depende de las preferencias del usuario o de la intención que se persiga; obviamente, si se va a imprimir el documento, lo mejor es emplear el primer método de los descritos. Si se pretende que unos alumnos describan o comenten una ecuación antes de resaltarla para ver la anotación introducida por el profesor, será más útil la segunda.

GRÁFICAS SIMULTÁNEAS

Vamos a hacer ahora una representación gráfica en la que aparecerán 2 ecuacio­nes si­multáneamente: las ecuaciones de los dos móviles estudiados en una gráfica espacio-tiempo.

Para esta representación necesitaremos las expresiones 2 y 4  (ver la Gráfica 2) con algunos valores numé­ricos, dejando como variables el espacio y el tiempo. Utilizaremos los siguientes valores: eo = 0, eo1 = 50, V = 10, V1 = 4, to = to1 = 0,  todo en Unidades del Sistema Inter­nacional. Insistimos, una vez más, en que es fundamental describir claramente el significado de las asignacio­nes anteriores, no perdiendo nunca el sentido físico de los símbolos que estamos utilizando.

Antes de hacer la sustitu­ción vamos a preparar las ecuaciones para ser representadas simultáneamente. Hay que dis­poner un vector de vectores (una matriz) en el que cada uno de éstos sea el segundo miem­bro de las ecuaciones a representar. Será mejor verlo para nuestro ejemplo. En la línea de edi­ción deberemos escribir

[[e = eo + V (t - to)] , [e1 = eo1 + V1 (t - to1)]]

¿De qué otra forma podríamos haberla obtenido sin volver a escribir las ecuaciones completas?

Estudiemos un poco esta expresión antes de continuar. Observemos la disposición de los corchetes y la coma. Como ya dijimos, los espacios en blanco se han introducido para mayor clari­dad: no son necesarios.

Si hemos comprendido la notación y hemos pulsado ENTER, veremos que en la pantalla de trabajo aparece una matriz con 2 filas, siendo éstas las ecuaciones respectivas de cada móvil. Con Manipula Sustituir introduciremos los valores antes indicados, que, simplificados, proporcionan la expresión   correspondiente a las 2 ecuaciones de los móviles.

 

Con esta expresión resaltada, ejecutamos el comando rePresen para entrar en la ventana de gráficos (debería repasarse lo descrito antes para las representaciones gráficas si no se recuerdan bien las opciones que van saliendo). Si aparece en este momento alguna gráfica, correspondería a otra ya trazada previa­mente y habrá que borrarla para que no se mezcle con la que ahora vamos a ver. Para ello, utilizamos el comando Despejar todAs, que elimina todas las representaciones gráficas existentes en esta ventana. Hecho esto, si ha sido necesario, trazaremos las gráficas de los 2 movimientos ejecutando el comando rePresentar. Puede elegirse la opción que se desee sobre la situación y tamaño de la ventana de gráficos. En la Gráfica 3 puede verse el resultado con la opción Al_lado, estableciendo la división en la columna 30.

Como puede observarse, sólo aparece una línea recta. No hay ningún error, se trata de la escala que estamos utilizando para la gráfica. Habrá que hacer un zoom para ``alejarse" y obtener una visión más amplia. Pulsando tres veces F8 y dos veces F10 obtendremos la imagen que se muestra en la Gráfica 4, donde podemos ver claramente las 2 rectas correspondientes a cada movimiento y su punto de intersección (en la línea de estado se hallará el valor de la escala correspondiente a este zoom:  Scale  x:5    y:50). Obviamente, este zoom no es el único, y podemos probar cualquier otra combinación para obtener una escala que sea de nuestro agrado. Sería ilustrativo ensayar otros valores de zoom e interpretar las divisiones de las escalas.

Podemos realizar también un zoom de la gráfica de otra forma mediante el comando Rango y las teclas del cursor, delimitando mediante un rectángulo la zona que queremos ver. Dejamos que el lector experimente esta interesante posibilidad.

¿Qué recta corresponde al perseguido y cuál al perseguidor? ¿Por qué? ¿Qué representa el punto de intersección de ambas rectas? ¿Qué zona de las rectas carece de significado físico?

 

Mediante las flechas del cursor podemos mover el cursor gráfico, que tiene la forma de un pequeño signo más, y cuyas coordenadas aparecen en la línea de estado junto a la indica­ción Cross. En estas gráficas, está situado en  X:-5   Y:100, pero puede tener valores distintos en los resultados obtenidos por el lector que haya seguido el proceso en su ordenador. Si lo trasladamos hasta el punto de corte  veremos sus coordenadas. ¿Qué significado físico tienen estos valores?

Para trasladar el cursor gráfico de forma más rápida, dando mayores saltos que píxel a píxel, podemos utilizar Ctrl + SYMBOL 174 \f "Symbol" o Ctrl + SYMBOL 172 \f "Symbol"  (recuérdese que esto significa mantener pulsada la tecla control mientras se pulsa también la tecla del cursor hacia la derecha o hacia la izquierda) para desplazarnos en di­rección horizontal, y Re Pág o Av Pág para hacerlo en dirección vertical (estos movimientos rápidos del cursor gráfico también funcionan con el comando Rango, descrito un poco más arriba). Además, pulsando la tecla Inicio lo llevaremos hasta el centro de la pantalla. Para poder desplazar el origen de coorde­nadas y, por tanto, los ejes, podemos situar el cursor gráfico en un punto que deseemos sea el nuevo centro de la pantalla, y ejecutar el comando Centrar. Así, por ejemplo, si lo llevamos hasta la posición de coordenadas (10, 100) y pulsamos 'C', la gráfica tendrá un aspecto más familiar, con el origen de coordenadas hacia la esquina inferior izquierda. También podemos llevar el cursor de golpe a una posición determinada con el comando Mover, e introduciendo las coordenadas a las que queramos desplazarlo. Recordemos que para pasar de un campo a otro (del X al Y en el caso de utilizar Mover) hay que pulsar la tecla del tabula­dor, pulsando ENTER des­pués de haber introducido los datos. Sería conveniente practicar un poco más las distintas po­sibilidades que nos ofrece DERIVE para las representaciones gráficas antes de seguir. Son muchas y aportan una gran flexibilidad a la apariencia que podemos conseguir en ellas.

Antes hemos dejado el sistema de ecuaciones sin resolver numéricamente. El lector puede  hacerlo ahora con los valores que hemos utilizado para la gráfica. Simplemente, habría que utilizar la expresión 11 (ver Gráfica 2) para sustituir en ella los valores de 'eo1', 'V' y 'V1' con 50, 10 y 4, respectivamente, y simplificar. Los resultados obtenidos coinciden con las coordenadas que han aparecido antes cuando hemos trasladado el cursor gráfico a un punto en concreto de la gráfica  ¿Qué punto era?

¿Cómo sería la gráfica si las velocidades de ambos móviles fueran iguales? Puede comprobarse la respuesta a esta pregunta sustituyendo otros valores en el sistema de ecuaciones de la expresión 12 (ver Gráfica 2) que hemos representado antes y analizar ahora el resultado obtenido. ¿Qué pasaría si la velocidad del perseguido fuera mayor que la del  perseguidor? Realice el lector la gráfica con unos valores que cumplan este requisito para comprobar el resultado.

MOVIMIENTO  RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE  ACELERADO

Con el desarrollo que hemos realizado hasta este momento hemos aprendido a utilizar bastantes capacidades del programa DERIVE, aparentemente sencillas algunas de ellas pero que ahora veremos cómo se trasladan de forma inmediata para resolver expresiones más complejas; ya comentamos al principio esta característica del trabajo con el programa: la comprensión de las técnicas de resolución con problemas sencillos nos servirá para afrontar problemas mucho más complejos. Vayamos ahora con el estudio del  M.R.U.A. dejando en su mayor parte como repaso la utilización de las técnicas ya conocidas, e introduciendo otras nuevas.

Respecto del cálculo numérico no habría nada que añadir, ya que dichos cálcu­los los podemos realizar, como hemos comentado en varias ocasiones, de la misma forma independientemente de la complejidad de la ecuación empleada. Desde el punto de vista matemático (el único que entiendeDERIVE), el M.R.U. y el M.R.U.A. no tienen grandes diferencias; no obstante, desde el punto de vista físico existen diferencias muy importantes, que es tarea nuestra discernir. Véase el apartado correspondiente en el M.R.U. para repasar los conceptos básicos que allí se describieron para poder aplicarlos a este otro tipo de movimiento.

Incluso algunos aspectos que pudiera parecer que no han sido tratados podemos abor­darlos con un poco de iniciativa, siempre imprescindible cuando se trate de trabajar con programas de ordenador. Por ejemplo, no hemos visto cómo se resuelve una ecuación de segundo grado, ya que este tipo de ecuaciones no se presenta en el M.R.U. Veamos un ejemplo para compro­bar que, habiendo asimilado la técnica de resolución de ecuaciones lineales (véase el apartado RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ANALÍTICAMENTE si se necesita un repaso), son po­cas las variaciones que harán falta para resolver otras de grado superior.

Introduzcamos en DERIVE la ecuación de la posición del M.R.U.A. utilizando el ya conocido comando editAr:

e = eo + Vo (t - to)+½ a (t – to)2

Hay que insistir una vez más en que es imprescindible conocer el significado físico preciso de todas las variables antes de seguir.

Para introducir el exponente 2 del último término se utiliza el carácter  ^  (acento cir­cunflejo) que se encuentra a la derecha de la letra 'p', y se obtiene manteniendo pulsada la tecla de mayús­culas. Así, las últimas secuencias de tecla serían

... to ) ^ 2

Al pulsar ENTER la ecuación pasa a la pantalla de trabajo y el 2 adoptará la situación de un exponente, desapareciendo el carácter  ^  que sólo sirvió en la línea de edición para indicar que lo que viene después es un exponente. El siguiente paso será ejecutar el comando resoLver para resolver la ecuación, indicando que la variable a despejar es la 't'. Una diferencia que se aprecia de inmediato respecto de la re­solución de una ecuación lineal es que, lógicamente, ahora aparecen 2 soluciones consecuti­vas. En este caso, dichas soluciones analíticas son un poco prolijas y no resultan de utilidad para establecer conclusiones a partir de ellas. Hay que comentar la aparición del símbolo SQRT (SQuare RooT) que representa la raíz cuadrada, y que se extiende sobre todo el radicando abarcándolo mediante un paréntesis; así, la primera de las soluciones sería, en la forma matemática habitual:

 

Para obtener valores numéricos, utilizaremos el comando Manipula Sustituir, como ya conocemos.

Veamos a continuación el capítulo de REPRESENTACIONES GRÁFICAS. Nuevamente hay que reiterar que con lo aprendido en la parte del movimiento rectilíneo uniforme podemos trabajar las gráficas para el uniformemente acelerado. No obstante, vamos a abordar este punto desde una perspectiva distinta que nos permitirá introducir una herramienta nueva del programa DERIVE: las funciones definidas por el usuario. Sería conveniente que se hiciera el estudio por el método descrito anteriormente, para después llevarlo a cabo de la forma como vamos a tratar a continuación. Esto nos permitirá familiarizarnos con las herramientas del programa y escoger las que nos resulten más cómodas y fáciles.

FUNCIONES Y VARIABLES DEFINIDAS POR EL USUARIO

En algunas ocasiones puede ser necesario hacer uso de una expresión para realizar diver­sos cálculos con ella, por ejemplo, varias gráficas de la misma ecuación variando sólo algún coeficiente, o evaluarla para distintos valores de una de sus variables. Para no tener que repetir cada vez la misma expresión variando sólo una parte de ella, se definen las llamadas funciones. En matemáticas, es muy frecuente ver expresiones del tipo f(x,y) = 3xy + 2x + y; diríamos que es una función que depende de 'x' y de 'y', de manera que dando sendos valores a éstas obten­dríamos el valor correspondiente de la función. De la misma forma podemos considerar la ecuación de la posición de un móvil, en función de variables tales como el tiempo, la velocidad, etc.

Vamos a definir una función con DERIVE, tomando como ejemplo la ecuación de la posición del M.R.U.A. Para ello, se utiliza el comando Definir Función. En ese momento, nos solicitará que introduzcamos el nombre de la función. No se debe dar un nombre que vaya a ser utilizado luego para una variable, pues no pueden coincidir los nombres de una función y de una variable. En este ejemplo, llamaremos Emrua a la función, en lugar de e. Así pues, intro­duciremos dicho nombre para la función y pulsaremos ENTER. A continuación se nos pedirá que introduzcamos la definición de la función: eo + Vo(t-to) +1/2 a (t-to)2, y finalizare­mos pulsando ENTER. Al pasar a la pantalla de trabajo, adoptará esta forma:

 

Podemos observar 2 cosas: la función se declara con el signo ' : = ', y el programa intro­duce automáticamente todas las variables de las que depende la función.

Si ahora queremos evaluarla para unos valores concretos, sólo habrá que sustituirlos en las variables escribiendo en la línea de edición:

Emrua (-5 , 2.4 , 0 , 5 ,0)

donde -5 corresponde a Vo, 2.4 a la aceleración, 0 al espacio inicial, 5 al tiempo y 0 al tiempo inicial, es decir, han de encontrarse en el mismo orden que en la definición de la función, que no es más que el orden ASCII ya comentado anteriormente. Ni qué decir tiene que las unida­des han de ser del mismo sistema o el resultado carecería de sentido. Por último, si pulsamos ENTER para pasar la expresión a la pantalla de trabajo, lo hará sin evaluarse, por lo que después habrá que ejecutar el comando Simplifi, mientras que si pulsamos Ctrl + ENTER, se evaluará directamente y será este valor el que pasará a la pantalla de trabajo.

Vamos a utilizar esta función que acabamos de definir para trazar algunas gráficas. Antes de continuar borraremos todas las expresiones que aparezcan en la pantalla (usando el comando boRrar) excepto la definición de la función. Aunque borrásemos también ésta de la pantalla de trabajo, la definición seguiría vigente en memoria y podríamos seguir haciendo uso de ella aunque no estuviera a la vista. La definición permanece hasta que se redefina.

Trazaremos la gráfica  e - t  de un móvil que se desplaza con una aceleración de 2 m/s2 ycon una velocidad inicial de 5 m/s. La función específica para este ejemplo será:

Emrua (5, 2, 0, t, 0)

Una vez en la pantalla de trabajo, entraremos en la zona de gráficas con el comando rePresen; elegimos situarla a la derecha de las ecuaciones con Al_lado, y dividiremos la pantalla en la columna 30. Ejecutando rePresentar la trazaremos. Parece ser que la ecuación de este movimiento también corresponde a una línea recta. Pero no nos dejemos engañar por las apariencias. De una división a otra de las escalas de los ejes sólo hay 1 unidad (de tiempo en el eje X y de distancia en el eje Y; segundos y metros, respectivamente), por lo que sería conveniente hacernos hacia atrás para adquirir un poco más de perspectiva. Pulsando 2 veces F10 para aumentar la escala de ambos ejes (nos alejamos de la gráfica con un zoom) se apreciará en seguida la forma real de la curva que se acaba de trazar: una parábola, como se puede ver en la Gráfica 5.

¿En qué puntos corta al eje de abscisas? Una simple observación nos permite responder que en -5 (segundos)  y  0 (metros). ¿Cómo podríamos determinar estos va­lores en el caso de que no fueran tan evidentes como en esta gráfica? Utilizando el comando resoLver con la función resaltada nos proporcionaría de inmediato ambos valores, ya que en los puntos de corte con el eje de abscisas, la ordenada (es decir, el espacio, pues se trata de una gráfica e - t) vale cero, y la ordenada es el valor de la función. Hay que tener en cuenta que cuando se resuelve una ecuación en la que no aparece de forma explícita el signo igual, DERIVE considera que la expresión está igualada a cero.

Vamos a superponer otra gráfica a la anterior. Recordemos que para volver a la ventana de ecuaciones podemos pulsar la tecla F1. Estudiemos ahora la representación de otro movimiento cuya función sea:

Emrua (5,2,0,t,6)

La representación de ambos movimientos podemos visualizarla en la Gráfica 6. ¿Qué diferencia tiene con el anterior? En este caso, el tiempo inicial, to, es de 6 segundos. Consideramos siempre el Sistema Internacional de Unidades. Corresponderían a 2 móviles que se desplazan con la misma aceleración y la misma velocidad inicial, y que parten del mismo punto (el origen de coordenadas, puesto que para ambos eo=0) pero el segundo parte 6 segundos después que el primero. ¿Cuándo y dónde lo alcanza? A partir de la gráfica se pueden obtener resultados aproximados llevando el cursor gráfico hasta el punto de corte de ambas parábolas. En la línea de estado se indican las coordenadas de la posición del cursor. ¿Cómo lo podríamos saber con exactitud? Si tenemos en cuenta que en el punto de corte las funciones se igualan, sólo habrá que introducir:

#2 = #3

y ejecutar el comando resoLver. Hemos supuesto que las 2 funciones están numeradas con los valores 2  y  3 en  la ventana de ecuaciones. La solución que proporciona el programa es t =1/2, es decir, tarda medio segundo en alcanzarlo. ¿Es correcto este razonamiento? ¿Puede tardar medio segundo en alcanzarlo? Medio segundo, ¿a partir de cuando?

Este pequeño ejemplo nos debe servir para no dejarnos llevar por las interpretaciones mecánicas a partir de datos puramente matemáticos que no han sido analizados con cuidado desde el punto de vista físico. El tiempo transcurrido hasta que lo alcanza, medio segundo, se cuenta a partir del momento en que parte el primer móvil; si el segundo comienza su movi­miento 6 segundos después que el primero y sale del mismo punto, es imposible que lo alcance medio segundo después de que el primero empiece a moverse.

Las gráficas y las ecuaciones matemáticas no siempre tienen sentido físico. Hay que insistir en esto para no dejarnos llevar por lo que el ordenador nos suministre como soluciones sin haberlas pasado antes por el tamiz del proceso real al que están representando en cada caso. A partir de los 6 segundos, que es cuando el segundo cuerpo comienza a moverse, puede apreciarse en las gráficas que no hay ningún punto de corte, pues corren paralelamente hasta el infinito. Las parábolas son continuas en todo el campo de los número reales, pero sólo tienen sentido físico para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a partir de un cierto valor del tiempo, a partir del valor de 'to'.

Para terminar con este apartado sobre definición de funciones y de variables vamos a estudiar otro ejemplo. Un cuerpo que se deja caer desde una cierta altura, y otro que se lanza hacia arriba desde el suelo en la misma vertical que el primero. Buscaremos a qué altura del suelo se encuentran y en qué instante.

De la misma forma que antes hemos definido una función, vamos ahora a definir una variable: la variable `g' (aceleración de la gravedad) con el valor 9'8 m/s2.

Primero borraremos la ventana gráfica y todas las expresiones excepto la definición de la función, usando el comando boRrar como ya sabemos. Insistimos en que no es necesario que la función permanezca en la ventana: podemos borrarla y su definición seguiría estando en la memoria de DERIVE pero es conveniente dejarla a la vista por motivos de claridad.

Para definir la variable ejecutamos el comando Definir Variable, introduciendo a continuación el nombre de nuestra variable:  `g', y pulsamos ENTER. Aparecerá el submenú:

DEFINIR  VARIABLE: Value  Integer  Real Complex  Nonscalar

El comando Value es el que aquí nos interesa ya que sirve para proporcionar a la variable un valor constante. Los demás elementos del menú sirven para delimitar el dominio de la variable. Así, pues, ejecutamos Value e introducimos -9'8 seguido de ENTER (La coma decimal se representa enDERIVE mediante un punto, ya que se trata de un programa anglosajón; sin embargo, en el texto utilizaremos el signo anterior tal como se emplea en castellano, y en la parte superior para no confundirlo con la coma ortográfica). Veremos cómo aparece esta definición en la pantalla de trabajo. Este mismo proceso se podría haber realizado también introduciendo directamente la expresión g := -9.8 en la pantalla de trabajo a través del comando editAr. El signo negativo se debe a que la aceleración de la gravedad siempre va dirigida verticalmente hacia abajo y es costumbre tomar el sistema de referencia de forma que ese sentido sea negativo. Por lo menos así lo haremos siempre en este trabajo. Una discusión más detallada del criterio de signos en cinemática puede verse en cualquier libro de texto. Como ya hemos mencionado antes, es muy importante que estén claros estos conceptos cinemáticos para poder interpretar los resultados que nos proporciona el programa.

Proporcionemos ahora los datos que necesita nuestra función para describir los 2 movimientos. El cuerpo que se deja caer:  Vo = 0, a = g, eo = 500 m, to = 1 s; el cuerpo que se lanza hacia arriba: Vo = 70 m/s, a = g, eo = 0, to = 0. Como se puede observar, el primer cuerpo se deja caer 1 segundo después de que el segundo se lance hacia arriba.

En la  Gráfica 7 se muestra la representación de ambos movimientos en una gráfica e - t. Recordemos que para pasar de una ventana a otra podemos utilizar la tecla F1, por lo que, una vez trazada la primera función, podemos volver a la ventana de ecuaciones pulsándola, seleccionar la otra expresión y ejecutar rePresen  rePresentar para trazar la segunda. Ejecutando el comando Algebra desde la ventana de gráficos, también volvemos a la ventana 1. Los datos necesarios para visualizarla tal y como en ella se ven, están en la misma gráfica. Examinando la línea de estado, se puede obtener una visión idéntica en la pantalla del ordenador donde estemos trabajando haciendo un uso apropiado de las teclas de zoom. El cursor gráfico está en la posición aproximada donde se cortan ambas parábolas.

Para obtener un resultado más exacto del momento en que ambos móviles se encuentran, puede resolverse el sistema de ecuaciones formado por las expresiones 3 y 4 tal como ya se ha descrito en el apartado SISTEMAS DE ECUACIONES del M.R.U. Comentaremos de forma somera cómo hacerlo para que el lector lo lleve a cabo en su ordenador pensando bien los pasos seguidos. Lo primero que hemos de hacer es introducir la expresión #3 = #4. Después le aplicamos el comando resoLver  (¿por qué no nos pregunta respecto de qué variable queremos resolver la ecuación?), obteniendo 4951/602. Para realizar la operación, ejecutamos el comando aproXima, con lo que llegaremos a 8'22425. DERIVE suministra resultados exactos o aproximados según se haya seleccionado una opción u otra con el comando  Opciones Precisión. Dejamos que el lector investigue este comando para ver los cambios que tienen lugar en las operaciones subsecuentes.

Así pues, el tiempo que transcurre desde que se lanza el cuerpo que se hallaba inicialmente en el suelo hasta que se encuentran es de 8'22 segundos; o lo que es lo mismo, 7'22 segundos después de que se dejase caer el cuerpo que inicialmente se encontraba a 500 metros de altura. Pero, ¿a qué altura están en ese instante? Obviamente, esto nos lo puede responder cualquiera de las expresiones 3 o 4 sin más que substituir el valor de `t' recién obtenido. Para ello, después de haber ejecutado editAr, traemos la expresión 3 a la línea de edición pulsando F3 y cambiando `t' por 8'22425 (no serían necesarios tantos decimales). Al pulsar ENTER, se obtiene una nueva expresión que con aproXima  nos proporciona el resultado final: se encuentran a 244'27  metros del suelo. Acabamos de mencionar otra forma muy útil de recuperar expresiones que ya están en la pantalla de trabajo para traerlas y usarlas en la línea de edición: mediante la pulsación de la tecla de función F3; el lector puede probar a hacerlo también con F4. ¿Qué diferencia ha observado?

¿Qué velocidad lleva cada móvil en el momento del encuentro? Esta cuestión la responderemos en el siguiente apartado.

CÁLCULO DIFERENCIAL

 

Obtener una derivada resulta algo muy sencillo con DERIVE por muy complicada que ésta sea. Es un ejemplo más de la potencia del programa en el ámbito del cálculo simbólico. La cuestión que hemos dejado sin resolver en el apartado anterior nos servirá para introducir el cálculo de las derivadas.

Ya conocemos la expresión que nos permite obtener la posición de un móvil que lleva un M.R.U.A. en función del tiempo. También sabemos que la velocidad de un móvil es la derivada de la función que determina su posición con respecto del tiempo, sea cual sea dicha función. Por lo tanto, si derivamos la función que hemos definido como Emrua con respecto al tiempo obtendremos la ecuación de la velocidad.

Ejecutemos el comando Cálculo y aparecerá el menú siguiente:

CáLCULO:  Derivar  Integrar Límite  Producto  Suma Taylor  Vector

La primera de las opciones, como su nombre indica, hace posible el cálculo de derivadas. Seleccionemos, pues, Derivar. Nos pedirá qué expresión deseamos derivar. En este punto, como ya ha sucedido en otras ocasiones, podemos teclear la expresión entera o indicar su número si ya está presente en la ventana de ecuaciones. La ecuación que está resaltada es la que el programa propone por defecto; en nuestro caso, es la ecuación 2 la que vamos a derivar. Después de teclear este valor y pulsar ENTER nos pedirá la variable respecto de la cual queremos la derivada: escribimos `t'. Por último, nos solicitará el orden de la derivada, pulsamos ENTER de nuevo ya que aceptamos el valor 1 que propone. La expresión que queremos derivar aparecerá en la ventana de ecuaciones entre corchetes precedida del símbolo de la derivación respecto del tiempo (d/dt). El último paso es simplificar esta expresión, lo cual llevaremos a cabo con Simplifi. La expresión obtenida es la conocida ecuación de la velocidad del MRUA: Vo+a·(t-to). Tal como se presenta en los libros de texto sería

V = Vo + a (t-t0)

Así de sencillo es calcular derivadas con DERIVE.

Con esta ecuación ya estamos preparados para responder a la pregunta que había quedado pendiente al final del apartado anterior. Nos podía facilitar esto la definición de una función como, por ejemplo, Vmrua. Dejamos los siguientes pasos en manos del lector, que, sin duda, podrá cumplimentarlos fácilmente. Será útil emplear la tecla de función F3 recién descrita.

En la Gráfica 8 se ha representado la gráfica V - t de los móviles de nuestro ejemplo. En los ejes ya se han introducido las etiquetas correspondientes.

¿Qué recta corresponde a cada móvil? ¿Por qué son paralelas ambas rectas? ¿Qué representan los puntos de corte con los ejes? ¿Qué significado tiene la porción de recta en el cuarto cuadrante (valores negativos de la velocidad)? ¿A qué corresponde la pendiente de cada una de las rectas (es la misma ya que son paralelas)?

DERIVE resuelve ecuaciones y traza gráficas, nosotros las interpretamos y analizamos.

Sólo nos queda añadir cómo podemos guardar en disco las gráficas y cómo imprimirlas.  Para el primer caso disponemos de las combinaciones de teclas Ctrl + F9 (guarda en disco la ventana activa en ese momento, no sólo de gráficos) y Ctrl + F10 (guarda en disco la pantalla entera que estamos visualizando). Los ficheros gráficos se almacenan en formato TIF (Tagged Image Format) y en el directorio donde esté instalado el programa, nombrándolos consecutivamente DERIVE.TIF, DERIVE1.TIF, etc. Posteriormente pueden visualizarse con cualquier programa de tratamiento de gráficos que incorpore este formato o usarlas en un procesador de textos que permita insertar imágenes. Las de este trabajo se han obtenido de esta manera.

Para imprimir las gráficas, emplearemos Mays + F9 y Mays + F10, combinaciones de teclas que tienen la misma función que las de almacenamiento antes descrito pero imprimiendo. Si disponemos de impresora a color, podemos definir los colores con los que queremos obtener la copia impresa desde el menú OPCIONESCOLOR. Dejamos que el lector experimente con esta posibilidad. Desde este menú podemos cambiar los colores de las gráficas y de otras zonas de la pantalla de DERIVE aunque no las vayamos a imprimir, sólo para ofrecer otro aspecto que nos resulte más agradable en el monitor de nuestro ordenador.

Con este tutorial hemos aprendido a manejar de forma práctica un programa muy completo que hace las veces de un asistente matemático, incentivador del aprendizaje y motivador en la experimentación con expresiones matemáticas que, en muchas ocasiones, impiden ver el contenido conceptual físico de los problemas que estamos trabajando. Las posibilidades del programa DERIVE que hemos visto constituyen un pequeño porcentaje de todas las que posee, pero con este primer encuentro el lector podrá resolver ya muchos de los problemas que se le planteen, no sólo en el campo de la cinemática, a la vez que podrá seguir ampliando, mediante la experimentación, su conocimiento del programa.

Manuel Castelló

mcastello.pieva@centres.cult.gva.es